26 Функция Грина однородной краевой задачи для уравнения 2 порядка. Тсе.

Решение неоднородной КЗ с помощью функции Грина. Симметричность функции Грина

самосопряженного уравнения.

Функция Грина (ФГ) краевой задачи.

Пусть диф оператор 2го порядка

Неоднородной КЗ сопоставим однородную КЗ

Опр. Функцией Грина (ФГ) краевой задачи (2_ (или (1)) назыв функция , опред на П , облад след св-вами :

1. (в частности )

2. (по перемнной х)

3. 

4. 

Теор1. Если однородная КЗ имеет только трив реш, то ФГ краев зад (2) (или(1))

Док-во: Рассмотрим однор ур-ие . Построим

1. ФСР этого ур-ия Для этого рассмотрим след задачи Коши (ЗК) По ТСЕ решения ЗК для лин ур-ия с непрер коэфф, решение каждой из задач (3) и(4) . Решение КЗ1 (3) очев уд , а реш КЗ2 (4) уд . Обознач их далее соот. Проверим ЛНЗ (от противного). Док, что ЛЗ на . Тогда не может быть решением ЗК2 (4). Противоречие. Оно означает, что ЛНЗ и т.о образуют ФСР.

2. Ищем в виде : (тогда для нее вып св-ва 2 и 4). Св-во 1(непр). .

Св-во 3(скачок произв) . Из (5) и (6) получаем СЛАУ относительно на Таким образом,

3. Единственность. Пусть для ФГ рассматриваемой КЗ. Их разность облад след св-вами :

1. 

2. по перем x

3. (т.к. обл ф-ия имеют один скачок)

4. по перем х

Из 2 но тогда из 3 получим, что прав часть непрер в П уд ур-ию и однор условиям т.е. по условию #

Теор2. В услов Т1. КЗ(1) , причем , где ФГ КЗ (2)

Док-во:

1. Существование. Пусть ф-ия оп-ся соотн (7), тогда Покажем, что дейс реш КЗ (1).

. Т.е. на . Из (8) . Из (9) . Тогда . Аналогично . Т.о. явл решением КЗ (1).

2. Единственность. Пусть решение КЗ(1). Рассм . Тогда уд КЗ Но одн КЗ по усл имеет только трив реш #

Сл. Поскольку ФГ КЗ (2) однор КЗ (2) имеет только трив реш и реш неоднор. КЗ и опр формулой (7) однор КЗ имеет только трив реш.

Замеч. Линейное ур-ие с непр на [a,b] коэфф, , и непр приводится к виду путем умнож на при этом можно взять . Однако ФГ можно строить и непосред для ЛЗ для ур (10). При этом условие 3 имеет вид В ост построение аналогично.

Замеч. Если КУ не раздел и имеют вид

. то в виде

Где произв ФСР однор. ур-ие (10). Из св-в 1 и 3 ФГ имеем СЛАУ. кот имеет ед реш

Подставив (12) в (11), найдем из КУ. После этого получим

Замеч. Аналог образом можно строить ФГ если КЗ рассм на . А также в случае, когда обращ в ноль на одном из концов. при этом КУ могут иметь спец вид. Обычно это условие ограниченности на соотв конце.

Теор3. ФГ КЗ (2) симметрична :

Док-во: Рассм фор-ла Остр-Лиув #