24.Ряды в b→b. Обратный оператор. Резольвента. Приложение к иуф2, иув2. Итерированные ядра. Резольвента ядра. Ряды в
Пусть
Опр.
Рядом линейных опреаторов назовем
формально сумму
Опр.
назовем частичной суммой ЛО.
Опр.
Если
,
то полагают
Резольвента.
Пусть
.
Напомним, что С назыв обратным к А, если
Об.
В
ЛА док-ся, что
явл лин оператором и опред ед образом.
Рассмотрим
теперь ЛО
Опр.
Значение
такие, что
существует и ограничен назовем регулярным.
Замеч.
Пусть
.
Тогда всякое ур-ие
имеет ед решение если
регклярное
значение.
Теор.
Пусть
и
.
Тогда
(1)
Док-во:
Рассмотрим
.
Докажем, что (1) сход. (т.е. что
фунд)
т.к.
сход,
т.к.
фунд.
т.к. оно полное. Покажем теперь, что
.
Рассмотрим
т.к.
нулевой оператор, потому что
.
Аналогично (САМОСТОЯТЕЛЬНО)
доказать, что
.
Таким образом
обратный для S
и наоборот. Обр опер также явл ЛО. Покажем,
что он ограничен :
огр.
Единственность: Пусть
обратные к
,
тогда
#
Сл.
Если
лин
огр оператор
Т.о.
поскольку
,
то в этом случае
существует при
Приложение к ИУФ2.
Рассмотрим
Введем
ЛО
очев,
.
Запишем (1) в виде
или
.
При
(нап, что мы оценивали
,
где
,
т.е. при
) получим
Изучим
,
причем
,
тогда
Рассмотрим
далее
дойдем
до
,
где
причем
.
Таким образом, из (2) получаем
резольвента
или разрешающее ядро ИУФ2, т.е.
!.
Ряд
сход равномерно по t,
т.к.
.
Ряд
сход при
т.о. функц ряд можорируется сход. числ
рядом
функц ряд сх равн по Вейерштрассе
можно изменить порядок суммирования и
интегрирования.
Опр.
опред в (3) называют интерированными
ядрами.
Вывод:
при
заведомо
разрешающее ядро ИУФ2
и ИУФ2 имеет ед решение в виде (4).
Замеч.
Если
обладает св-ом :
,
то такое ядро назыв ортогональным. В
этом случае ряд для резольвенты состоит
из 1 слаг., т.е. сход
.
И т.о
реш ИУФ2 с ортог ядром. Есть и другие
случаи, когда реш
не только для малых
.
Например в слячае ИУФ2 с выр ядром ед
реш не сущ только для конечного набора
хар
значений ИУФ2 с выр ядром.
Уравнение для резольвенты.
.
Для ИУФ2 это означает, что
или
Приложение к ИУВ2.
Ищем
решение
.
Рассмотрим
ЛО Вольтерра :
измен
порядок инт =
т.о.
,
где
.
Оценим:
(т.к.
)
.
(Тогда
ряд
мажорирует числовым
сход
).
Ф. ряд сх. равномерно по пр. Вейерштасса
и (I-
(ИУВ2) имеет при
ед. реш.
Т.о.
∃! реш.
.
25 Краевая задача для ОДУ 2 порядка. Основные понятия. Краевая задача Штурма—Лиувилля. Оператор Штурма—Лиувилля, его свойства. Теорема Стеклова (б\д)
ГЛАВА. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ НА СОБСТ ЗНАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОДУ 1ГО ПОРЯДКА.
Основные понятия.
Рассмотрим
диф опер 2го порядка
а
также так назыв огранич операт
причем
(т.е.
ЛНЗ
Опр.
Задача нахождения y(x)
такий , что :
называется
неоднородной краевой задачей (КЗ) для
линейного ОДУ 2го порядка с неоднор
граничными (краевыми) укловиями (КУ).
Если
,
КУ (2), (3) назыв однородным, а если
то КЗ нызыв однор.
Замеч. Линейной заменой неизвест ф-ии можно добиться, чтобы КУ стали однородными (при этом изм коэф ур-ия (1) и ф-ия f(x) ).
Далее считаем, что КУ однород.
Замеч. КУ вида (2), (3) назыв неразделенными. В простейшем случае КУ имеют вид :
,
где
,
Такие КУ назыв разделенными.
Если КУ задает знач ф-ии на границе отрезка, то оно назыв КУ 1го рода. Если задано знач производной, то это КУ 2го рода. Если задана ЛК знач функций и ее производная , то это КУ 3го рода.
Т.о.
существует 9 вариантов разделенный КУ.
В случае КУ 3го рода их принято записывать
в виде
, где
Задача Штурма-Лиувилля.
Основным
диф оператором будем далее считать
оператор
где
Опр. Задача нахождения нетривиальных решений КЗ
числовой
параметр
назыв задачей Штурма-Лиувилля (ЗШЛ). При этом значения , при которых нетрив реш назыв СЗ ЗШЛ, а сами нетрив решения, отвечающие им, собственными функциями.
Далее
рассмотрим
Опр.
назыв классической областью опр ЗШЛ.
Оператор
рассм на
назыв классическим оператором Ш-Л.Будем
далее рассм классич опер Ш-Л и обозначать
его
.
Лемма1.
Если
,
то
удовл условиям
Док-во:
Если
КУ
1го рода, то
и
Если
КУ
2го рода, то
Если
КУ
3го рода, то
.
На правом конце аналогично.
Упр. Доказать, что образует ЛП.
В
этом ЛП можно ввести скалярное произведение
по формуле
.
После введения СП это ЛП становится
нормированным :
Докажем след св-ва оператора Ш-Л:
L – самосопр ЛО (ССО) (т.е.
)
Док-во:
Рассмотрим
Все СЗ ЗШЛ действительные (это следствие самосопр ОШЛ)
Док-во:
Пусть
СФ ОШЛ, отвеч СЗ
.
Покажем, что
.
тогда
CЗ ОШЛ простые т.е. каждому СЗ отвеч только одна ЛНЗ собств фуе-ия
Док-во:
Если
СФ отвеч СЗ
,
то поскольку
являются реш лин ур-ия с непрер коэфф
,
то
на [a,b].
С другой стороны
противоречие.
Т.о. невозможно, чтобы 2 ЛНЗ СФ отвеч
одному СЗ #
Лемма2.
Если
операторы КУ 1 или 2 рода, либо 3го рода,
где
и
,
то
Док-во:
докажем, что (4)
Если
Г – усл 1го рода, то
Если Г – усл 2го рода, то
Если
Г – усл 3го рода, то
.
При любой комбинации КУ выполняется
(4)
утверждение леммы#
Если
,
то
СЗ ЗШЛ
Док-во:
Пусть
СФ
отвеч СЗ
#
СЗ ЗШЛ образуют пос-ть
# б/д#
Замеч.
Если
,
то
Замеч. может иметь только ЗШЛ с и КУ 2го рода на обоиз концах.
СФ отвеч различным СЗ ортогон.
Док-во:
#
След из 5 и 6. СФ ЗШЛ образуют бесконечную ортогональную систему.
Теор.
(Стеклова)
(о полноте системы СФ ЗШЛ) Если
,
а
сист
всех ЛНЗ СФ ЗШЛ
то
,
где
и ряд сход абс и равн-но на [a,b]
к функции
# б/д #