22.Сопряженное уравнение. Теоремы Фредгольма для интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром (т1-т4)

Замеч. Рассмотрим теперь ИУФ2 с непр ядром

Для ур-ий (5) – (8) имеют место теоремы 1 – 4 с нек модификацией

Теор1. Либо (5) имеет ед реш непр f(x), либо (6) имеет нетрив реш.

Теор2. Если 1 случ альт выполняется для (5) (6) , то он же выпол для (7) (8). Аналогично и во 2 случае альтернативы.

Теор3. Ур-ия (6) и (8) имеют одно и то же конечное число ЛНЗ решений.

Теор4. Во 2 случ альтер (5) имеет реш ортог любому решению ур-я (8) .

#принимаем без док-ва# (Эта теорема Фредгольма для ИУФ2 с непрер. ядром)

Рассмотрим ЛО А , действ в , где

Опр. А назыв оператором Фредгольма

Опр. Значение назыв характеристическими значениями оператора Фредгольма (или хар знач ур-ия (6))

Опр. Если хар знач., то в соотв с теор Фредгольма имеет место 2й случай альтернативы, т.е ур-ие имеет нетрив решение. Эти нетр решения наз собственными функциями, отвеч данному хар знач

Замеч. Можно заметить, что хар знач обратно ненулевому СЗ оператора Фредгольма.

23.Линейные операторы (ло) в лнп. Ограниченные ло. Норма ло. Непрерывные ло. Свойства ограниченных ло и нормы ло. Пространство

Теорема о банаховости пространства B→B.

Линейные операторы в нормированном ЛП.

Пусть X,Y – ЛНП и A – ЛО :

Опр. А называется ограниченным, если . В противном случае А назыв неограниченным.

Опр. Нормой огранич ЛО А назовем число .

Если А – неогр ЛО, то

Опр. А назовем непрерывным в т , если

Теор. Если ЛО А непрер в т , то он непрер на всем X

Док-во: Пусть x – произвольный элемент X. Тогда если , то . А непрер на эл-те , т.е. ( произв пос-ть сход к x) #

Свойства ограниченного ЛО.

1. А огр (фактич это будет эквив опр огранич ЛО)

Док-во: Пусть А – огр . Пусть теперь . Тогда ,т.о. . При очев выполнено т.е. выполнено.

Пусть . Тогда #

Сл. Если А – огр , то

2. А – огр А – непрер.

Док-во: А – огр Т.о (из А – непрер

А – непрер. Предположим, что А – неогр. Тогда . Тогда . С другой стороны . В силу непрерывности А противоречие. Оно возникло из предположения, что А неогр А – ограничен#

Напомним, что совокупность всех ЛО действующих из ЛП X в ЛП Y с обычными операциями сложения и умножения на числа также образкет ЛП. Мы его называли раньше . Совокупность всех ограниченных ЛО, действ из X в Y с нормой , опред выше, обозначим . Это будет линейное нормированное пр-во.

Замеч. В общем случае вычисление нормы ЛО затруднительно, но ее можно оценить.

Пример. .

Рассмотрим интегр. опер Фредгольма А :

Утв. ограничен

Док-во: , т.е. , где , т.о. #

3. , то

Док-во: #

4. Пусть A,B , то можно рассмотреть Имеет место неравенство

Док-во: #

Сл. Для имеет место

5. 

Док-во: #

Рассмотрим теперь

Теор. ЛНП всевозмож огр ЛО, действ из в также явл банаховым ЛП (т.е. оно полное). Коротко ( .

Док-во: Пусть фундамент, т.е . Покажем, что пос-ть тоже является фундаментальной. В самом деле: . Но , которое полное в силу фундам оно сходится к эл-ту , т.е. . Тогда пос-ти сопоставим оператор А : очевидно, А- линейный. Покажем, что , т.е. т.к. #

Опр. Такая сходимость линейных операторов (по норме) назыв равномерной сходимостью в отличие от поточечной (рассм в каждой точке )