Глава. Интегральные уравнения.
17. Сжимающие операторы. Принцип сжимающих отображений. Обобщенный принцип сжимающих отображений.
Банаховы пр-ва. Принцип сжимающих отображений.
Пусть
М – метрическое ЛП, т.е. каждой паре
эл-тах
пост. в соот. число
Если
ЛП нормировано, то можно ввести метрину
так
.
На основе метрики вводятся понятия
сходимости, непрерывности, фундаментальности
и т.д.
Опр.
Фунд. пос-ть
Опр.
Послед.
сходится в М, если
Можно
доказать (используя 3), что из сходимости
всегда вытекает фундаментальность
.
Обратное-неверно.
Если
рассм. в ЛП рац. чисел
пос-ть
,
т.е. эта пос-ть не явл. сходящ. в
,
хотя она фундам. (ДОКАЗАТЬ)
Опр. Метр. ЛП называется полным, если любая фунд. пос-ть в этой ЛП сходится.
Опр.
Полное нормир. ЛП назыв. банаховым (об.
)
Пусть
банахово.
Рассмотрим ЛО А :
Опр.
ЛО А назыв. сжимающим, если
(или
Теор. (Принцип сжим. отображений)
сжим.
А :
неподвижная
точка (т.е.
Док-во:
Пусть
произв.
элемент. Строим пос-ть
.
Докажем, что
фундаментальная.
Пусть ради опр.
.
фунд
.
Покажем, что
явл. неподв. точкой А. Покажем, что А-непр.
:
.
Тогда
т.е.
.
Докажем единственность : Пусть
.
Предположим
.
Тогда
.
Но
противоречие
Опр.
Пусть А – непрер. ЛО :
и
сжимающий.
Тогда А назыв. обобщенным сжим.
Теор. Всякий обобщ. сжим. опер. А : имеет ед. непожвиж. точку в
Док-во:
Пусть
сжим.
и x
– непр. т С, т.е.
вып., что
.
Докажем единственность. Всякая неп.
точка А явл. неп. точкой С. Но С – сжим.
имеет ед. неп. т.
А имеет ед. неп. точку.
18.Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода. Тсе решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
Интегральные уравнения Фрунгольна II рода (ИУФII).
Рассмотрим
уравнение
числовой
параметр уравнения,
заданные
функции
неизв.
функция, кот. будем считать
Опр.
(1) назывю ИУФII,
ядро
ИУФII
Опр.
Если
,
ИУФII
назыв. однородным, в противном случае
– неоднородным.
Опр.
назыв. частным решением ИУФII,
если при подстановке в него
получаем тождество.
Теор. ( ТСЕ решения ИУФII)
Пусть
.
Тогда при домт. малых значениях
реш.
ИУФII
.
)
Док-во:
Если
,
то
ед.
решение. Пусть
.
Поскольку
.
Рассм. ЛО А :
(напомним,
что
банахово)
опред. след образом:
.
Покажем, что А сжим. при дост. малых
.
Рассм.
,
где
.
,
то А – сжим. опер. т.к.
,
где
,
т.е при
.
Т.о. А сжим. ЛО. Он имеет ед. непод. точку
:
,
т.е.
и т.о.
явл. един. решением ИУФII(1)
.
Замеч. Т.о. стартуя с непр. ф-ии можно найти решение ИУФII методом посл. приближ.
19.Интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода. Тсе решения интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода.
ТСЕ решения инт. уравнения Вольтера 2 рода (ИУВII).
Рассмотрим плоскость
числовой
параметр.
Рассмотрим
уравнение
Опр. (1) назыв. ИУВII
Опр.
Если
,
то уравнение однородно, в противном
случае – неоднородно.
Теор.
Если
то
непр.
решение ИУВII
Док-во:
,
рассмотрим оператор А :
.
.
Докажем, что А – обобщ. сжим. оператор.
Сначала докажем, что А – непрер. :
Рассмотрим
пос-ть
непрер. функций,
непрер.
оператор. Док, что
сжим.
оператор. Рассмотрим непр.
и
и
т.д.
,
обобщ.
сжим.
непрер.
точка
,
т.е.
решение
ИУВII.
#