Кратные ненулевые действительные корни
2
ЛНЗ СВ
ЛНЗ
образуют
базис на плоскости
Всевозможные
траектории имеют вид
прямая,
проходящая через точку покоя по
направлению
ас.устойч.
неустойчивый
Такой тип точки покоя называется дикритический узел
АК >ГК
Пусть
единственный
ЛНЗ СВ, отв.
Тогда
,
где
какое-либо
решение
ЛНЗ
Перейдем
в базис
Если
Если
Пусть
ради простоты
Тогда
При
произвольных
В целом фазовый портрет имеет вид :
Т
акой
тип точки называется вырожденный
узел
При этом, если , то точка покоя неустойчивая, а если , то асимптотически устойчива
(
)
В
озвращаемся
в исходный базис
Кратные нулевые СЗ.
А
К
= ГК
не
изменяются при изменении t.
Вся плоскость покрыта точками покоя (нулевая точка покоя, устойч., но не асим.)
,
где
решение
Перейдем
в
парам.
уравнение прямой, проходящая через
в направлении (0,1)
Модель потоков движущиеся в противоположных направлениях
В
исходном базисе:
В этом случае нулевая точка покоя неустойчива. Любая т., находящаяся при t=0 сколь угодно близко к (0,0) при t>0 покинет ее окрестность по прямолинейной траектории.
5. Теорема Ляпунова об устойчивости тривиального решения автономной системы
Пусть
точка
покоя(положение равновесия) системы
(1) (т.е.
)
Далее предполпгаем, что непр. с частными
производными 1-го порядка в области
включающей т. покоя. Пусть
непр. диф. в
Опр.
Производной функции
в силу системы (1) называется
Опр.
Назовем
окрестностью
т. покоя
множество
и прокол.
окрестностью
– множество
Опр.
Функция
называется положительно определенной
в
если :
Отрицательно
опр. Функция определяется аналогично
Теор1. (Ляпунова об устойчивости точки покоя автономной системы)
Пусть
(1) обладает т. покоя
(т.е.
– ее решение). Если
и полож. опр. непр. диф. в
функция
,
то
устойчивая
точка покоя.
Замеч. Напомним, что исследование ненулевой точки покоя исходной системы можно свести к исследованию нулевой точки покоя модифицированной системы (путем замены переменных)
Если
т.
покоя (1) делаем замену
,
тогда
будет нулевой точкой покоя системы
.
Далее считаем
Док-во: ( , т.е. исс. на устойч. трив. реш.)
#Трив.
решение (1) называется устойчивым , если
Берем
.
Пусть
и
рассм.
.
Обозначим ее границу
.
является замкнутым ограниченным
множеством
непр.
достиг. на ней своей нижней грани, т.е
.
Далее
и
непрер. в
.
Выберем
теперь в качестве
любую точку в
и рассмотрим решение
.
не возрастает
не пересекает
т.е. не выходит за пределы
##От
противного: пусть
пересек.
в
некот. т.
.
Тогда с одной стороны
противоречие.
##
Таким
образом любое решние, которое при
наход. Внутри
при
нулевое
решение устойчиво.
Полож.опр. функция называется функцией Ляпунова системы (1)
6. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости тривиального решения автономной системы
Пусть точка покоя(положение равновесия) системы (1) (т.е. ) Далее предполпгаем, что непр. с частными производными 1-го порядка в области включающей т. покоя. Пусть непр. диф. в
Опр. Производной функции в силу системы (1) называется
Опр. Назовем окрестностью т. покоя множество и прокол. окрестностью – множество
Опр. Функция называется положительно определенной в если :
Отрицательно опр. Функция определяется аналогично
Теор1. (Ляпунова об устойчивости точки покоя автономной системы)
Пусть (1) обладает т. покоя (т.е. – ее решение). Если и полож. опр. непр. диф. в функция , то устойчивая точка покоя.
Замеч. Напомним, что исследование ненулевой точки покоя исходной системы можно свести к исследованию нулевой точки покоя модифицированной системы (путем замены переменных)
Если т. покоя (1) делаем замену , тогда будет нулевой точкой покоя системы . Далее считаем
Теор 2. (Ляпунова об ас. ус. т. покоя авт. системы)
Если
кроме условий Теор1, выполнено, что в
некоторой
непр.
и положит. опр., такая что
,
то
асимп.
устойчива.
Док-во:
требуется доказать, что
.
Это равносильно тому, что
.
Поскольку
,
то
не возрастает при увеличении t,
и кроме того
.
По теореме о существовании предела у
монотонной огр. функции, имеем
.
Покажем,
что случай
невозможен. От противного. Пусть
,
тогда
проинтегр. это неравенство по t
(от
до t)
или
.
Каково бы ни было
(огр.
в силу непр.
)
при дост. больших t
правая часть будет <0
при этих же временах
,
но
полож.
опр. поэтому невозможно - противоречие
т.е.
,
т.е.
#
Полож.опр. функция называется функцией Ляпунова системы (1)
7. Теорема Четаева о неустойчивости тривиального решения автономной системы
Теор3. (Чатаева о неустойчивости трив. решения автономной системы)
Пусть
система (1) обладает трив. решением и
,
область
(с
границей
,
где
пол.
опр. непр. в
функция
Тогда трив. (нулевое) решение неустойчиво.
Док-во:
тривиальное решение неуст, если
.
Покажем, что это так. Берем любые
и выберем
Рассмотрим решение
и функцию
.
Тогда
не убывает. Тогда траектория
не пересечет
т.к.
на этой линии
,
а
либо
остается для
в области
,
либо
уходит из области через границу
.
Покажем, что реш. не может остаться в внутри при достаточно больших t (предпол., что траектория не покидает )
.
Через траектория пройти не может ⇒ она выходит через границу
Таким
образом, как бы близко мы ни взяли бы
к
можем брать
,
все равно при достаточно больших t
траектория покинет
.
Это и есть неустойчивость. #
Замеч.
В теореме Чатаева
может
состоять и только из одной точки
.
(До-во остается примерно тем же)
8. Исследование на устойчивость по первому (линейному) приближению. Доказательство устойчивости в простейшем случае, когда все СЗ отрицательны и различны.
Пусть
точка
покоя(положение равновесия) системы
(1) (т.е.
).
Будем считать, что все
дважды диф. в некоторой
.
Тогда в
можно представить в виде
,
где
матрица
первых производных,
k
– некоторая константа, k
> 0, т.е
Лемма1.
Док-во:
Лемма2.
prav
Док-во:
Лемма3.
Док-во:
(вроде
похоже на правду)
Теор. (Об устойчивости т. покоя авт. сис-мы по 1-му приближению)
Если
все корни уравнения
1
часть) имеют отриц. действ. части, то
точка покоя
устойчива асимптотически, (2 часть) а
если хотя бы один из корней имеет
полож.действ. часть, то точка покоя
неустойчива.
Далее считаем (всегда можно добиться заменой перем) 1) Док-во (для вещ. отр. корней) (далеко не факт, что именно это и надо):
(только
1 часть) при условии, что все
отрицательные и различные, причём у
всех корней уравнения
,
алг.кратность = геом. кратности, т.е
невырож. Т :
.
В ок-ти нулевой точки покоя
тогда
(2)
(1)
подставим
.
Сделаем замену переменных
.
Тогда
Рассмотрим
функцию
.
Эта функция полож. опред.
.
Пусть
.
по
лемме 2
– лемма
3
Таким
образом
,
в которой
пол.опр.,
т.о. по т.Ляпунова о асимпт.уст. получаем,
что
ас.уст. т. покоя. #
2)
Док-во:
(только 1 часть) при условии, что у всех
корней
уравнения
алг.кратность = геом. кратности, т.е
невырож. Т :
.
В ок-ти нулевой точки покоя
тогда
подставим (2)
(1)
получим
.
Сделаем замену переменных
.
Тогда
Транспонируем
(
)
Рассмотрим
функцию
.
Эта функция полож. опред.
.
Мы доказали, что все
.
Пусть
.
Тогда
(5)
Подставим
(5) в (4) получим
при
,
т.е. при
.
Таким образом,
,
в которой
пол.опр., а
т.о. по т.Ляпунова о асимпт.уст. получаем,
что
9. Первые интегралы автономных систем. Критерий первого интеграла (док-во). Свойства первых интегралов (без док-ва).
Рассмотрим
в некоторой области
.
Будем полагать, что все
непр. диф. в
(для вып. усл. ТСЕ
Задачи
Коши)
Опр.
Функция
,
не равная тожд. константе в области
,
называется первым интегралом автономной
системы (1) в области G,
если на любой траектории
,
лежащей в G
функция
сохраняет постоянное значение, т.е.
Теор. (Критерий I-го интеграла)
Диф.
в G
функция
тожд. не равная const
явл I-инт.
системы (1)
она удовлетворяет в G
уравнению в частных производных
Док-во:
Пусть
I-инт.
системы (1) в G.
Рассмотрим ЗК в G
:
Так как
непр.диф
в G
рашение
ЗК. Пусть
решение
ЗК. Тогда
Полагая здесь t=0,
получим, что
,
т.е во всей G
вып. ур. (2)
Пусть
улов. уравнению (2) в
Тогда
решение
сист. (1)
,
т.е. u
сохраняет пост знач. на решении
это I-инт.
Замеч.
Часто I-инт.
называют не саму функцию
а соотношение
Геометрический смысл I-инт. автономной системы.
Пусть
одно
из возможных значений, которое может
принимать I
инт.
на некотром решении сист. (1). Тогда
соотношение
задает в (n+1)
мерном пространстве перем.
цилиндр. пов-ть, целиком состоящую из
инт. кривых системы (1).
Док-во:
Пусть
некоторая
точка на пов-ти
,
т.е.
.
Расмотрим решение сист. (1) удовл. нач.усл.
.
Обозначим его
).
Поскольку
сохраняет постоянное значение на любом
решении (1) то
инт.
кривая
целиком лежит на этой пов-ти. По ТСЕ мы
можем взять любую точку
на этой цил. пов-ти
она целиком состоит из интегральных
кривых.
Пример.
Решим ее :
общее
решение системы, которое задает. инт.
кривые в пр-ве перем.
.
Эту систему можно свести к ОДУ
или
;
С одной стороны (5) является I-инт. системы (3) с другой стороны (5) задает в пр-ве перем. пов-сть – гиперболический цилиндр. Допустим С=1
10. Функциональная зависимость/независимость первых интегралов.
Рассмотрим
систему дифф. в
функций
Опр.
Система функций
называется функционально зависимой
(ФЗ), если
диф. фун-ия (k-1)
переменного
одна
из функций, например,
может
быть представлена в виде
в
.
Если никакую функцию из невозможно в представить таким образом, то система называется функционально независимой (ФНЗ) в
Замеч. Из линейной зависимости функций следует их функциональная зависимость. Обратное неверно.
В
мат. анализе доказано, что если для
системы функций
,
то при
эта система является ФНЗ, а при
она ФЗ
Теор.
Пусть
не является т.покоя авт. систем(1) (т.е.
,
тогда в нек.
ФНЗ
I-инт.
сист. (1)
(примем
без
док-ва)
Почему условие не является т.покоя существенно?
Рассмотрим
которую можно свести к
.
Покажем,
что соотношение
не является I-инт.
в
в
окр-ти этой точки существует один I-инт.
не
существует I-инт.
Если
бы
явл.бы I-инт
в
,
то
созр. бы пост. значение вдоль любого
луча
,
т.о.
,
но I-инт.
не явл. тождественной константой. Кроме
того,
, т.е. нет ни одной ФНЗ функции.
Теор.
Если
система
I-инт.
сист. (1) в
то для
диф. ф-ции≢const
k
переменных
следует что
также является I-инт.
(1) в
Док-во:
Пусть
произв.
решение (1), тогда
сохраняет постоянное значение на любом
решении.
Теор.
Пусть
не является точкой покоя сист.(1) . Если
произв.
ФНЗ сист. I-инт.
(1) в
,
а
тоже
явл I-инт.
(1) в
,
то сист.
ФЗ
в
Док-во:
Поскольку
I-инт.
в
,
то верно следующее :
(6)
можно рассм. при
как ОСЛАУ относительно
.
Поскольку
не явл. т. покоя системы, то
(6)
имеет нетривиальное решение. Это возможно
только если
при
ФЗ
в
Сл.
Теор.
Если
не является точкой покоя сист.(1) , то в
беск. много I-инт.,
при этом, если
сист.
ФНЗ в
I-инт.,
то
I-инт.
сист (1) в
имеет вид
,
где Ф – произвольная диф. фун-ия своих
аргументов.
Док-во: следует из предыдущих теорем.
11. Первые интегралы неавтономных систем. Свойства первых интегралов (без док-ва). Теорема о получении решения задачи Коши для неавтономной системы с помощью ФНЗ системы первых интегралов.
Путем
увеличения количества неизвестных на
1 неавт. сист. (1) можно свести к авт. сист:
Опр.
I-инт.
неавтономной системы (1) в области
будем называть I-инт.
соот. ей авт. сист. (2), т.е. это функция
,
которая
в
,
но сохр. пост. значение на любом решении
системы (1)
Теор. (Геометрический смысл I-инт неавт. системы)
Если
одно
из возможных значений которое может
принимать I-инт.
сист (1), то соотн.
задает в пр-ве перем.
поверхность целиком сост. из интегральных
кривых.
Док-во: ДОКАЗАТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО (аналогично авт. сист.)
Из связи неавт. и авт. системы следует утв. :
Теор1.
Пусть
В окрестности
штук
ФНЗ I-инт.
сист. (1)
Док-во:
Замеч.
Теор2.
У неавт. системы n-го
порядка
I-инт.
явл. ФЗ Док-во:
из связи с авт.
Теор3.
Всякий I-инт.
неавт. системы (1) может быть представлен
в виде :
,
где
ФНЗ
сист. I-инт.
неавт системы (1), Ф – произв. дифф. функция
своих аргументов, не явл. тожд. const.
Док-во:
из связи с авт. системой.
Замеч. о решени нелин. системы. Знание всякого I-инт. сист. авт или неавт позволяет понизить порядок системы (кол-во неизвестных) на 1, не повышая при этом порядок уравнений
Рассмотрим,
например, авт. систему
Пусть
ее I-инт.
в некоторой
,
причем
.
Тогда по ТСЕ о неявной функции
,
задаваемое соотношением (4) :
.
Тогда система (3) перейдет в (5)
т.е.
система стала (n-1)
порядка. Тогда, если нам известны в
некоторой
(n-1)
ФНЗ I-инт.
сист (3)
,
то
в
,
и соот. по ТСЕ для сист. функций, задаваемых
соотн (6)
и соотв. сист. (3) сводится к одному ОДУ
с разд перем.
кот. всегда инт. в квадратурах. Соотв.
получим:
,
а ост. функции определяются подстановкой
в систему (7) .
Рассмотрим теперь неавт. систему (1) и ЗК для нее :
н.у.
внутренняя
точка области.
Теор. (О решении ЗК для неавт сист.)
Пусть
для неавт. сист. поставлена ЗК (7) и в
некоторой
система
ФНЗ I-инт.
неавт. системы (1). Пусть далее
Тогда решение ЗК (8) неявно определяется
из соот.
(т.е. сист. (10) задает решение ЗК (8) в
неявном виде)
Замеч.
(10) можно также записать след. образом
Док-во:
Поскольку
ФНЗ
в
,
то
по
ТСЕ для системы неавт. функций (10) можно
разрешить в
в виде
причем в силу выбора
,
получим, что
Рассмотрим
теперь решение ЗК (8). Обозначим его
.
При t=0
оно удов. сист. (10) т.к. вып. (9). Но при t>0
сохр. свои значения(т.е.
)
на решении, т.е.
будет удовл. сист. (10) и при t>0.
Т.е. решение ЗК уд. сист. (10)
.
А реш. (11) тоже удовл. сист. (10)
.
По ТСЕ эти решения совпадают. т.о. решение
ЗК опред. соотн. (11) (кот. пол. путём
разрешения (10)), т.е. (10) задает решение
ЗК в неявном виде.
Замеч.
Если придавать компонентам
произвольные значения, то получим общее
решение сист (1), т.о. общее решение сист
(1) имеет вид (неявный)
,
где
система
ФНЗ I-инт.
неавт. системы (1), а
произвольные
константы.
При отыскании решения систем на практике обычно испльзуют 2 метода :
исключение неизвестных непосредственно из уравнения системы. Истекается это путем доп. диф., что повышает порядок уравнения
метод интегрируемых комбинаций
Опр. Интегр. комбинация либо представляет собой комбинацию уравнений системы, в которой содержится 2 переменные, и соот. явл. диф. ур. относительно этих переменных, либо это уравнение,обе части которого являются полными дифференциалами. Из любой инт. комбинации можно получить I-инт. , понижает на 1 порядок системы, не повышая при этом порядок уравнения.
Поиск инт. комбинаций упрощается при записи в т. наз. симметрич. форме :
Для
авт. сист.
симм. форма получается путем исключения
t
(как парметра из сист ), т.е.
перпис. в виде (при условии, что
не обращ. в 0 одновр.)
или
(пропорции) это и есть симм. форма записи
Для
неавт. сист.
симм.
форма записи для неавт. системы
При подборе инт. комбинаций обычно используют след. св-во пропорций
Если
истинная
пропорция с общим значением
,
то
Док-во:
