Лекции, Гришин С.А. / Materialy_k_lektsii_Preobrazovanie_Furye

Материалы к лекции Преобразование Фурье

Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы о существовании интеграла Фурье: кусочно-непрерывная и кусочно- гладкая на каждом конечном отрезке числовой оси, ее значения в каждой точке равны полусумме пределов справа и слева в этой точке.

Преобразуем тригонометрическую форму интеграла Фурье:

Функцию

(1)

называют изображением оригинала при преобразовании Фурье.

Формула

(2)

отражает обратное преобразование: восстановление оригинала по изображению.

Преобразуем интеграл Фурье, представленный в действительной форме:

,

где .

Частный случай: функция четная.

Тогда

Функцию

(3)

называют косинус-преобразованием функции , заданной на полуоси , а формула

(4)

отражает обратное преобразование.

Частный случай: функция нечетная.

Тогда

Функцию

(3)

называют синус-преобразованием функции , заданной на полуоси , а формула

(4)

отражает обратное преобразование.

Свойства преобразований Фурье сведены в таблицу:

Докажем, например, формулу для дифференцирования образа:

Сверткой двух функций (оригиналов) и называют функцию

Преобразование Фурье свертки (формула таблицы)

Преобразование Фурье некоторых функций

Здесь функция (характер)

Докажем, например, вторую формулу таблицы

Оригинал – четная функция, поэтому преобразование Фурье может быть заменено на косинус- преобразование:

Пример. Решить интегральной уравнение ( – неизвестная функция).