Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Файл:

Лекции, Гришин С.А. / Materialy_k_lektsii_Pervye_integraly

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

28.01.2025

Размер:

312.48 Кб

Скачать

☆

Материалы к лекции «Первые интегралы»

Система ДУ:

(1)

Опр. Первым интегралом системы (1) называют функцию , сохраняющую постоянное значение по на любом решении (1), проходящем через точку .

Геометрический смысл. Вся поверхность пространства заполнена траекториями системы (1).

Постоянство значений первого интеграла системы (1) равносильно тому, что его полная производная

(2)

Знание первого интеграла системы (1) позволяет понизить на единицу порядок исходной системы ДУ. Например, – первый интеграл системы (1), для которого в точке . Тогда уравнение неявно задает дифференцируемую функцию и с ее помощью можно исключит переменную из первых уравнений системы (1).

Замечание 1. Если первый интеграл системы (1), то ее первым интегралом является функция для любой функции .

Опр. Первые интегралы называются независимыми в области , если в каждой ее точке ранг матрицы равен .

Теорема 1. (о существовании первых интегралов)

В окрестности любой точки система (1) имеет независимых первых интегралов.

Док.

Пусть . По теореме существования и единственности для ДУ, существует

решение системы (1)

, (3)

для которых . Ранг матрицы равен , поскольку матрица единичная. Тогда по теореме о неявной функции в окрестности точки существуют дифференцируемые функции , для которых

(4)

Равенства (4) превращаются в тождества на любом решении (3) системы(1) с начальным условием .

Таким образом, функции являются первыми интегралами системы (1). Их независимость следует из того, что матрица в точке единичная.

Замечание 2. Если система (1) имеет независимых первых интегралов , то ее общее решение (3) неявно задается системой уравнений (4).

Замечание 3. Если система (1) автономная,

(1)*

а начальная точка не особая, например , то система (1)* имеет первых интегралов в окрестности точки . Действительно, систему (1)* можно записать в виде:

(1)**

и по теореме 1 у нее есть независимых первых интегралов принимающих постоянные значения на решениях (1)**, а значит и на (1)*. Таким образом, эти функции являются первыми интегралами автономной системы (!)*.

Как находят первые интегралы ДУ?

Симметричная форма записи системы ДУ.

(5)

Если , то в такой форме можно записать систему (1).

Пример 1 Решить систему

Система автономная, записана в симметричной форме. Один из ее первых интегралов легко увидеть:

Если решение системы, то принимает постоянное значение (производная по в силу системы равна нулю) и является ее первым интегралом.

Для нахождения второго интеграла, перепишем симметричную форму в виде:

Общее решение исходной системы при имеет вид .

На плоскости решение имеет вид:

Уравнения с частными производными первого порядка

Однородные уравнения.

Однородным линейным уравнением с частными производными первого порядка называют уравнение

(6)

связывающее частные производные первого порядка неизвестной функции с заданными функциями класса (коэффициентами уравнения).

Теорема 2. Функция является решением уравнения (6) в том и только в том случае, если она является первым интегралом системы

(7)

Док.

Если – решение (6), то производная в силу системы (7) равна нулю:

И функция постоянна на решениях системы (7), т.е. она первый интеграл этой системы.

Обратно, – первый интеграл системы (7), тогда он постоянен на решениях (7) и его полная производная и является решением (6).

Теорема 3. (об структуре общего решения линейного уравнения)

Пусть независимые первые интегралы системы (7) в окрестности точки . Тогда для любой функции функция является решением уравнения (6).

Док. По теореме 2 любая из функций является решением (6), поэтому ее производная в силу систему (7) . Тогда производная функции в силу системы (7) равна и она является первым интегралом системы (7), поэтому и решением (6).

В предположениях теоремы верно и обратное утверждение: для любого решения уравнения (6) найдется такая функция , для которой

Пример 2. Найти общее решение уравнения в области .

Решение.

Составим уравнение (7):

Первые интегралы системы:

Подставляем в уравнение значение :

Решение линейного ДУ:

Исключаем :

Найденные два первых интеграла позволяют написать общее решения исходного уравнения в области .

для любой функции .

Неоднородные (квазилинейные) уравнения.

Рассмотрим уравнение с частными производными первого порядка вида:

(8)

Здесь функции класса , , функция – решение (8).

С уравнением (8) связана система ДУ:

(9)

Решения (9) называются характеристиками уравнения (8).

Теорема 4.

Любое решение уравнения (8) задает в пространстве поверхность, через каждую точку которой проходит решение системы (9) и оно принадлежит поверхности, т.е. поверхность состоит из характеристик уравнения (8).

Док.

Пусть кривая является траекторий решения (9) и принадлежит поверхности с уравнением . Ее касательный вектор перпендикулярен нормали поверхности:

Таким образом, – решение уравнения (8)

Обратно, – решение уравнения (8). Оно задает в поверхность . Покажем, что через каждую точку проходит и единственная характеристика, принадлежащая . Пусть – проекция на . Через точку проходит единственное решение системы ДУ:

Тогда кривая лежит на поверхности для всех и является характеристикой. Действительно,

и является решением (9).

Теорема 5.

Пусть –первый интеграл системы (9) в области и в точке . Тогда уравнение задает (неявно) решение (8) в окрестности точки .

Док. Из условия первого интеграла системы (9):

(*)

Заметим, что по правилу дифференцирования неявных функций .

Тогда, разделив (*) на , получим (8).

Теорема 6. (об общем решении квазилинейного уравнения)

Пусть – независимые первые интегралы системы (9). Функция является решением уравнения (8) в окрестности точки в том и только в том случае, если она удовлетворяет равенству