Лекции, Гришин С.А. / Lektsia_na_temu_Ustoychivost

Траектории при в этом случае имеют вид:

Рис 2 Седло Рис 2.1 Седло

При любом сочетании знаков или нулевое решение неустойчиво.

Случай 3. Собственные числа матрицы ненулевые, действительные и равные.

3.А. Матрица имеет два линейно независимых собственных вектора . Тогда линейным преобразованием с матрицей система приводится к диагональному виду (5) и имеет траектории в виде полупрямых, проходящих через начало координат , изображенных на рис 3.

Рис 3. Дикритический узел

Возврат на плоскость прямые только повернет. При движение происходят в направлении к началу координат и нулевое решение асимптотически устойчиво. При направление движения противоположное.

3.Б. Независимый собственный вектор, соответствующий числу , только один. В этом случае линейным невырожденным преобразованием система (4) приводится к виду

(6)

Система (6) имеет решение . После исключения , получим траектории, на котором лежат решения (6)

На рис. 4 изображены траектории системы (6)

Рис 4 Вырожденный узел Рис 4.1 Вырожденный узел

При движение по траекториям происходит в направлении начала координат, а при – наоборот.

4. Комплексно-сопряженные корни характеристического многочлена:

Пусть – собственный вектор матрицы для . Тогда и – собственный вектор с сопряженным числом . Пусть , где и – вещественные векторы: также линейно независимые. Действительная часть решения также является решением (4):

, где

является линейной комбинацией векторов действительного базиса и . В момент это решение проходит через точку – любую точку плоскости, поэтому является общим решением системы (4). Траектории этого решения изображены на рис 5.

Рис 5.1 Центр ( ) рис 5.2 Фокус ( ) рис 5.3 Фокус ( )

При нулевое решение асимптотически устойчиво, при – неустойчиво.

Замечание. При нулевое решение асимптотически устойчиво. Характер поведения решений в окрестности начала координат сохраняется при малых возмущениях системы.