Лекции, Гришин С.А. / Lektsia_DIU-11_int_uravnenia

Лекция ДИУ – 11, Классификация интегральных уравнений

Интегральное уравнение вида

(1)

называется уравнением Фредгольма второго рода. Здесь – непрерывное на квадрате ядро, – свободный член, – параметр. - решение уравнения. В случае уравнение называется однородным.

(2)

Множество решений уравнения (2) при фиксированном является линейным пространством. Если оно не нулевое, то называется характеристическим числом пространства, элементы пространства – собственными функциями, а его размерность – кратностью характеристического значения . Если конечное число, то существует базис пространства собственных функций (возможно ортонормированный), по которому раскладывается любая собственная функция :

(3)

Если одно из решений неоднородного уравнения (1), то его общее решение имеет вид:

(4)

c произвольными (вообще комплексными) константами .

Уравнение Фредгольма с вырожденным ядром.

Если ядро в уравнении (1) имеет вид

c функциями . Оно называется вырожденным. Без ограничения общности, можно предполагать линейную независимость систем функций и .

В случае, когда решение (1), после его подстановки в уравнение и интегрирования тождества на , получим:

, где (5)

Умножим правую и левую части равенства на и проинтегрируем полученное по на отрезке :

(6)

Здесь .

Система уравнений (6) с неизвестными линейная и ей можно придать матричную форму:

(7)

Здесь – матрица, – столбец свободных членов, – столбец неизвестных. Таким образом, для уравнения (1) с вырожденным ядром существование у него решения приводит к существованию решения системы (7) и наоборот. Если система (7) имеет решение , то оно, подставленное в (5), дает решение (1). Вопрос о разрешимости линейной системы изучен вами в курсе линейной алгебры.

1. Если однородная система имеет только нулевое решение ( не является характеристическим число матрицы), то неоднородная система (7) имеет единственное решение, а значит и интегральное уравнение также имеет единственное решение.

2. Если пространство решений однородной системы имеет размерность ( является характеристическим числом матрицы и оператора), существует базис решений однородной системы , который по формулам (5) породит базис пространства решений однородного интегрального уравнения.

3. Если в условиях пункта 2 неоднородная система (7) имеет решение , то интегральное уравнение имеет бесконечное число решений, определяемых формулой (4):

Диагональ квадрата делит его на два треугольника и

Рассмотрим ядра интегральных уравнений такие, что с функцией непрерывной на треугольнике . Тогда уравнение (1) с таким ядром примет вид:

(8)

Такие уравнения называются интегральными уравнениями Вольтерра второго рода. Уравнения Вольтерра являются частным случаем уравнений Фредгольма с непрерывным ядром. Следующие утверждения верны для уравнений обоих типов, если это не оговорено отдельно.

Пример. Решить интегральное уравнение .

Решение

Здесь

Подставляя полученные значения интегралов в СЛУ, получим

Окончательно,

Общая теория интегральных уравнений с непрерывными ядрами.

Теорема 1 (единственности решения)

Для того, чтобы уравнения (1), (8) имели единственное решение необходимо и достаточно, чтобы их однородные уравнения ( ) имели только нулевое решение.

Док.

Это утверждение было нами доказано для уравнений с вырожденным ядром, но верно для любых ядер.

Пусть уравнение (1), (8) имеет единственное решение , а соответствующее ему однородное уравнение имеет ненулевое решение . Тогда неоднородное уравнение имеет еще одно решение

Пусть однородное уравнение имеет только нулевое решение, а неоднородное – два различных и . Тогда их разность является решением однородного уравнения, поэтому оно нулевое, т.е.

Теорема 2. (существования решения уравнения (1) Фредгольма)

Для уравнения (1) с непрерывным ядром на квадрате , свободным членом существует число такое, что для всех уравнение (1) имеет решение

Док.

Обозначения:

Для нахождения решения применим метод последовательных приближений. Определим функциональную последовательность из непрерывных на функций:

Рассмотрим функциональный ряд

(9)

где . Заметим, что .

Оценим модули членов ряда (9):

Здесь .Если , то оцениваются сверху членами сходящейся геометрической прогрессии, что по признаку Вейерштрасса обеспечивает равномерную сходимость ряда (9) и непрерывность его суммы .

Покажем, что – решение уравнения (1)

Частичная сумма ряда (9) , поэтому возможен предельный переход:

Теорема 3 (существования решения для уравнений Вольтерра)

Для уравнения (8) с непрерывным ядром на треугольнике , любым свободным членом существует и единственное его решение при всех .

Док. Подобно тому, что было в теореме 2.

Функциональная последовательность непрерывных на определяется рекуррентными соотношениями:

Оценка модулей членов ряда (9) меняется:

Мажорирующий ряд сходится при любом значении , поэтому сумма равномерно сходящегося ряда (9) существует и является решением уравнения (8). В доказательстве единственности решения уравнения (8) используется неравенство Гронуолла – Беллмана:

Для любых непрерывных функций и числа связанных неравенством

справедливо неравенство

Пусть уравнение (8) имеет два решения и . Тогда

Обозначая через и полагая , получим, что для неотрицательной функции справедливо неравенство . Тогда по неравенству Г-Б, имеем

Следствие. Однородное уравнение, соответствующее уравнению (8) всегда имеет только нулевое решение, а значит оператор Вольтерра не имеет ни одного характеристического числа (пустой спектр)