29. Математическое описание диффузионных процессов в твёрдых телах. Законы диффузии.

Диффузия в твёрдых телах — это процесс переноса атомов или частиц под действием градиента концентрации. Математическое описание диффузионных процессов основывается на законах Фика, которые описывают скорость и характер перераспределения вещества.

1. Основные законы диффузии

1.1. Первый закон Фика (статический)

Определяет плотность потока (J) диффундирующего вещества через единичную площадь за единицу времени:

J=−D∂C/∂x

Где:

• J — плотность потока вещества (моль/м2),

• D — коэффициент диффузии (м2/с),

• ∂C/∂x— градиент концентрации (моль/м3).

🔹 Физический смысл: диффузия происходит в направлении уменьшения концентрации с интенсивностью, зависящей от градиента концентрации и коэффициента диффузии.

1.2. Второй закон Фика (динамический)

Описывает изменение концентрации вещества (C) во времени (t) с учётом пространственного изменения:

Где:

• ∂C/∂t — скорость изменения концентрации во времени,

• ∂C2/∂x2 — вторая производная концентрации по пространственной координате (x).

🔹 Физический смысл: скорость изменения концентрации в точке пропорциональна кривизне её распределения.

2. Решения уравнений Фика

Решения зависят от начальных и граничных условий. Основные модели включают:

2.1. Постоянный источник

Когда концентрация на поверхности поддерживается постоянной (Cs):

Где:

• erfc(z) — дополнительная функция ошибки.

2.2. Ограниченный источник

Если общее количество вещества (Q) остаётся постоянным:

Где:

• Q — общее количество диффундирующего вещества.

3. Коэффициент диффузии

Коэффициент диффузии (D) описывает способность атомов перемещаться в материале. Его величина зависит от температуры и подчиняется уравнению Аррениуса:

D=D₀e^−Ea/kT

Где:

• D0 — предэкспоненциальный фактор (м2/с),

• Ea — энергия активации диффузии (эВ),

• k — постоянная Больцмана (8.617×10−5 эВ/К),

• T — абсолютная температура (К).

4. Механизмы диффузии в твёрдых телах

1. Вакансионная диффузия:

   • Перемещение атомов через вакансии (пустоты) в кристаллической решётке.

   • Характерно для тяжёлых примесей.

2. Межузельная диффузия:

   • Атомы перемещаются через межузельные позиции решётки.

   • Преобладает у лёгких примесей, таких как бор.

3. Диффузия по границам зёрен:

   • Ускоренная диффузия вдоль дефектов структуры (например, границ зёрен).

4. Объёмная диффузия:

   • Примеси равномерно распространяются внутри кристалла.

5. Влияние температуры на диффузию

• С увеличением температуры коэффициент диффузии (D) возрастает, что связано с повышением энергии атомов.

• Типичные диапазоны температур в микроэлектронике: 800–1200 C.

6. Примеры диффузионных процессов

1. Легирование полупроводников:

   • Используется для создания p-n переходов.

   • Диффундирующие примеси: бор (B), фосфор (P), мышьяк (As).

2. Окисление кремния:

   • Диффузия кислорода в оксид кремния (SiO2).

3. Металлургические процессы:

   • Образование сплавов.

Заключение

Математическое описание диффузии позволяет предсказать распределение примесей и управлять профилем их концентрации. Законы Фика и их решения — это основа для проектирования полупроводниковых приборов и технологий микроэлектроники.