ПриклМех

ра, а на расстоянии 3l – шарнирная подвижная опора. На стержень в плоскости xoz действуют внешние силы: q = 100 Н/м; Р = ql; М = ql2. Допускаемое напряжение материала стержня [σ] = 100 МПа.

Требуется: 1) построить эпюры поперечной силы Qz и изгибающего момента My; 2) определить положение опасного сечения и значения наибольших нормальных и касательных напряжений; 3) проверить прочность стержня; 4) определить напряжения в точке С (zc=h/4) сечения на площадке, составляющей угол α = 30° с осью х; 5) определить главные напряжения и положение главных площадок.

Решение. Обозначим реакции опор через А, H, B. Направления реакций выбираем произвольно. Запишем уравнения равновесия стержня:

M ( y,B) 0 3Pl M 0,5ql2 2Al 0 A 1,25ql.

i

У стержня три грузовых участка. Проведем сечение на первом грузовом участке. Рассмотрим равновесие левой отсеченной части стержня (рис. 4.2):

Проведем сечение на втором грузовом участке. Рассмотрим равновесие левой отсеченной части стержня (рис. 4.3):

Zi 0 P A Qz 0 Qz A P 5 H; i

21

Изгибающий момент изменяется по линейному закону и принимает в граничных точках участка следующие значения:

M y (l) 4 Н м, M y (2l) 0,75ql2 3 Н м.

Проведем сечение на третьем грузовом участке. Сечение делит стержень на две части. Рассмотрим равновесие правой отсеченной части (рис. 4.4):

M ( y,O3 ) 0 B(3l x) q(3l x)2 / 2 M y 0,

i

M y B(3l x) q(3l x)2 / 2.

На этом участке поперечная сила меняет знак, значит экстремальное значение изгибающего момента My в сечении, где Qz = 0:

dM y Qz 0 B q(3l x); x 2,25l M y (2,25l) 1,125 Н м. dx1

На рис. 4.5 построены эпюры поперечной силы Qz и изгибающего момента My. Следует отметить, что на эпюре My положительные значения принято откладывать вниз, отрицательные – вверх.

22

Напряжения на площадке, составляющей угол 30 с осью х, определяем по формулам:

xcos2 xzsin 2 0,93 104 Па;2x sin 2 xzcos 2 0,76 104 Па.

Определим главные напряжения в точке С:

Положение главных площадок находим, используя формулу:

Пример 5. На рис. 4.7 приведена стержневая расчетная схема элемента конструкции постоянного поперечного сечения высотой h и шириной b; h/b = 2. Стержень закреплен с помощью заделки. На стержень в плоскости xoz действуют внешние силы: q = 200 Н/м; Р = 100 Н; М = 50 Н ∙ м. Длина участка стержня l =1 м. Допускаемое напряжение для материала стержня

[σ]=200 МПа.

23

На границах участка M y (0) 50 Н м, M y (l) 50 Н м.

Найдем экстремум функции My (вершину параболы). Для этого приравняем нулю выражение для перерезывающей силы:

Qz A qxэ 0 xэ Aq 0,5 м,

где xэ – координата, соответствующая экстремуму (принадлежит данному грузовому участку). Экстремальное значение изгибающего момента

M y (xэ ) 75 Н м.

Если xэ не принадлежит данному грузовому участку, то экстремума My нет, и для построения эпюры нужна третья точка. Для этого следует вычислить значение изгибающего момента для любого x (0, l) .

2. Второй грузовой участок: x (l, 2l). Проведем сечение на этом участке и отбросим левую часть. В сечении изобразим внутренние усилия Qz и M A , положительные в соответствии с правилом знаков (рис. 4.9). Рассмотрим равновесие пра-

вой отсеченной части стержня:

Zi 0 Qz 0; i

M ( y,O2 ) 0 M y M 0;

i

M y M 50 Н м.

Эпюры Qz и M A , построенные в соответствии с расчетами, показаны на рис. 4.10.

Определим положение опасного сечения. Опасным является сечение, в котором напряжение x максимально по модулю. Максимальному напряжению соответствует точка, где My = |My|max. Координата опасного сечения

х = 0,5 м, где My = |My|max = 75 Н · м (рис. 4.10).

25

Рассчитаем из условия прочности размеры сечения стержня. Запишем условие прочности при изгибе: M y max Wи [ ] , где Wи – момент сопротив-

лученные значения конструктор должен округлить до ближайших больших значений из ряда стандартных нормальных размеров (прил.2):

b = 0,85 см, h = 1,7 см.

Задание 3. На рис. 4.11 и в табл. 4.1 и 4.2 приведены расчетные схемы, геометрические параметры и внешние силовые факторы, вызывающие плоский поперечный изгиб в стержнях.

26

Требуется: 1) определить опорные реакции; 2) используя метод сечений, записать уравнения внутренних усилий Qz и My на каждом грузовом участке;

3)построить эпюры Qz и My; 4) определить положение опасного сечения;

4)подобрать для четных вариантов размеры круглого поперечного сечения стержня, а для нечетных вариантов – прямоугольного поперечного сечения, если h/b= 2. Материал стержня – Сталь 10.

27

28

Приложение 1. Механические характеристики конструкционных материалов

В таблице приняты следующие обозначения: ρ – плотность материала;

α – температурный коэффициент линейного расширения материа-

ла;

σт – предел текучести материала; [σ] – предельно допустимое нормальное напряжение;

σв+ – временное сопротивление материала при растяжении; σв– – временное сопротивление материала при сжатии; Е – модуль нормальной упругости (модуль Юнга) материала; ν – коэффициент Пуассона.

29

Окончание таблицы

30