Добавил:

vikoskokos Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Прикладная механика

Файл:

ИДЗ№2топ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.01.2025

Размер:

350.74 Кб

Скачать

☆

МИНОБРНАУКИ РОССИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)

Кафедра прикладной механики и инженерной графики

ОТЧЁТ по индивидуальному домашнему заданию №2

по дисциплине «Прикладная механика» Тема: Анализ температурных напряжений Вариант №1-2

Студентка гр. 1283	____________________	Григорьева В.В.
Преподаватель	__________________________	Титов А.В.

Санкт-Петербург

2024

1. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ Общий вид прибора представлен на рисунке 1. Исходные данные для

расчёта приведены в таблицах 1 – 2. Расчет температурных напряжений необходимо провести для деталей 1, 2, 3 в сечениях их контакта.

Рисунок 1 – Общий вид прибора

Таблица 1 – Исходные данные для расчёта

Вариант

Материал

t, ºС

Деталь 1

Деталь 2

Деталь 3

Деталь 4

1-2

Латунь

ВеО

Латунь

220

Таблица 2 – Параметры первой детали, необходимые для расчётов

Вариант

d1нар,

d2нар,

d3нар,

l1, мм

l2, мм

l3, мм

d1вн,

d2вн,

мм

1-2

7,0

6,0

М3

0,8

3,8

1,8

М4

1,3

Таблица 3 – Параметры второй детали, необходимые для расчётов

Вариант

d, мм

l1, мм

l2, мм

l3, мм

l4, мм

1-2

1,0

1,8

0,5

1,2

Таблица 4 – Параметры третьей детали, необходимые для расчётов

Вариант

dнар, мм

l1, мм

1-2

4,0

6,0

Таблица 5 – Параметры четвёртой детали, необходимые для расчётов

Вариант

d1, мм

d2, мм

l1, мм

l2, мм

l3, мм

l4, мм

1-2

3,8

1,8

1,0

0,7

0,2

2,2

Таблица 6 – Механические характеристики конструкционных материалов

№

Материал

ρ,

α·106,

σт,

[σ],

σв+,

σв–,

Е·10–5,

г/см3

К–1

МПа

Латунь Л68,

8,4

160

–

400

–

0,9

0,4

ДС59-1

Оксид бериллия

2,85

5,3…8,9

–

100

800

2,4

0,2

2.РАСЧЁТНАЯ ЧАСТЬ

1)Представили корпус прибора в виде трёхслойного цилиндра. Для нахождения температурных напряжений построили расчётную схему на рисунке 2, представляющую собой сечение, где три детали находятся в контакте:

Рисунок 2 – Расчётная схема для трёхслойного цилиндра

Записали уравнения совместности перемещений (1):

{σ1(R2) = σ2(R2),							(1)
σ (R	3	) = σ	3	(R	3	).
2	3		3		3

где σi – нормальные напряжения i-ой детали (i = 1,2,3), Ri – радиус контактной поверхности цилиндра.

Переписали их, учитывая, что перемещение осуществляется за счёт температурного и механического воздействий и подставляя радиусы (2):

С R		+	D1			+ α TR		= С R		+	D2		+ α		TR	,
			R2
1	2				1		2	2	2		R2			2	2	(2)
				D2								D3
С R		+				+ α TR		= С R		+			+ α		TR	.

{ 2	3			R3	1		3	3	3			R3		3	3

где Ci и Di – произвольные постоянные i-ой детали,

αi – температурный коэффициент линейного i-ой детали,

T – разница между конечной и начальной температурами нагрева конструкции.

Также записали граничные условия (3) для трех цилиндров:

I: {σr	(R1) = 0,
σ	(R	2	) = P .
r		2	1
II: {σr(R2) = P1,				(3)
σr(R3) = P2.

III:{σr(R3) = P2, σr(R4) = 0.

где Рi –давления, возникающие между соответствующими цилиндрами.

Уравнения на коэффициенты С и D в общем виде (4):

C =	1 − v PнR22 − PвR21			,
	E	2	2
		R2	− R1	(4)

D = 1 − v Pн − Pв R2R2.

E R22 − R21 1 2

где υ – коэффициент Пуассона,

Е – это модуль нормальной упругости материала, из которого изготовлен цилиндр,

Pн, Pв – наружное и внутреннее давление.

Записали эти уравнения для каждого цилиндра:

C =

1 − v1 P1R22

R2 − R2

1 − v1 R21R22

D =

P .

{

R2 − R1

C =

1 − v2

P2R23 − P1R22

R23 − R22

II:

1 − v2

R22R23

D =

(P − P ).

{

E2 R23 − R22

C = 1 − v3 −R23

P ,

III:

R4 − R3

1 − v3

−R23R24

D =

P .

{

R4 − R3

Подставили известные значения:

C1 =

1 − 0,4

0,65 10−3м

P1,

Па (0,65 10

−3

м)

−3

0,9 10

− (0,5 10 м)

1 − 0,4

(0,65 10−3м)2 (0,5 10−3м)2

D =

{

0,9 1011Па (0,65 10−3м)2

− (0,5 10−3м)2

C2 =

1 − 0,4 P2(1,5 10−3м)2 − P1(0,65 10−3м)2

(P2 − P1),

0,9 1011Па (1,5 10−3м)2 − (0,65 10−3м)2

II:

1 − 0,4 (0,65 10−3м)2 (1,5 10−3м)2

{D2 =

0,9 1011Па

(1,5 10−3м)2 − (0,65 10−3м)2

1 − 0,2

−1,5 10−3м

P1,

−3

III:

2,4 10

Па (3,5 10

м)

− (2 10 м)

1 − 0,2

−(2 10−3м)2 (1,5 10−3м)2

P1.

−3

{

2,4 10 Па (2 10

м)

− (1,5 10 м)

Получили следующие выражения:

C1 = 1,633 10−11P1,

I: {D1 = 9,525 10−18P1.

C2 = 8,208 10−12P2 − 1,541 10−12P1, II: {D2 = 8,092 10−18(P2 − P1).

C3 = −4,286 10−12P2, III: {D3 = −2,571 10−17P2.

Подставили в (2), разделили на радиусы и получили систему уравнений для нахождения P1 и P2:

	1,633 10−11P1 +	9,525 10−18P1	+ 18 10−6 220 =
	1,633 10−11P1 +	(0,65 10−3)2	+ 18 10−6 220 =
		(0,65 10−3)2
							8,092 10−18(P − P )
	= 8,208 10−12P2 − 1,541 10−12P1				+			2	1	+ 18 10−6 220,
	= 8,208 10−12P2 − 1,541 10−12P1				+		(0,65 10−3)2			+ 18 10−6 220,
							(0,65 10−3)2
						8,092 10−18(P − P )
	8,208 10−12P2 − 1,541 10−12P1		+					2 1	+ 18 10−6 220 =
	8,208 10−12P2 − 1,541 10−12P1		+				(1,5 10−3)2		+ 18 10−6 220 =
							(1,5 10−3)2
				2,571 10−17P
	= −4,286 10−12P2 −						2	+ 6 10−6 220.
{	= −4,286 10−12P2 −				(1,5 10−3)2			+ 6 10−6 220.
{					(1,5 10−3)2

Решив систему, получили:

P1 = −4,82 107Па = −48, 2 МПа,

P2 = −1,049 108Па = −104, 9 МПа.

Отсюда получили значения коэффициентов Сi и Di:

C1 = −7,87 10−4, {C2 = −7,87 10−4, C3 = 4,497 10−4.

			D1 = −4,591 10−10,
		{D		= −4,591 10−10,
		2
			D	= 2,698 10−10.
		3
Для расчёта внутренних напряжений в каждом цилиндре применили
следующие функции (5):
	σr(r) =	E		[(1 + v)C − (1 − v)	D	],
	σr(r) =	1 − v2		[(1 + v)C − (1 − v)	r2	],
		1 − v2			r2		(5)
		E			D		(5)
	σφ(r) =	E		[(1 + v)C + (1 − v)	D		].
	σφ(r) =	1 − v2		[(1 + v)C + (1 − v)	r2		].
		1 − v2			r2
Расчётные значения привели в таблице 4:
Таблица 4 – Расчётные значения напряжений

Цилиндр	r, мм			σr, МПа				σφ, МПа
	0,50			0,000				-236,1042857
1	0,55			-20,484				-215,6155254
1	0,60			-36,068				-200,0321429
	0,60			-36,068				-200,0321429
	0,65			-48,195				-187,9046069

	0,65			-48,195				-187,905
	0,70			-57,818				-178,282
	0,80			-71,935				-164,165
	0,90			-81,613				-154,487
2	1,00			-88,536				-147,564
2	1,10			-93,659				-142,441
	1,10			-93,659				-142,441
	1,20			-97,554				-138,546
	1,30			-100,586				-135,514
	1,40			-102,992				-133,108
	1,50			-104,933				-131,167

	1,50			-104,912				374,732
	1,55			-89,689				359,509
	1,60			-75,871				345,691
	1,65			-63,290				333,110
	1,70			-51,803				321,623
3	1,75			-41,286				311,106
	1,80			-31,633				301,453
	1,85			-22,753				292,573
	1,90			-14,564				284,384
	1,95			-6,997				276,817
	2,00			0,000				269,810
				7

Построили эпюры напряжений – радиального на рисунке 3, углового –

на рисунке 4:

Рисунок 3 – Эпюра радиального напряжения

Рисунок 4 – Эпюра углового напряжения

2) Анализ прочности для каждого цилиндра:

1. I цилиндр. Латунь – пластичный материал, поэтому можно

использовать третью теорию прочности. Выбрали максимальное по модулю напряжение – при r = 0,5 мм σ1 = σr = 0, а σ3 = σφ = – 236,1 МПа. Тогда получили:

σ − σ				≤	στ	при n ≤ 1,5
σ − σ				≤		при n ≤ 1,5
	1		3		n
					n
	σ			160 106Па
n =	τ		=				≈ 0,678.
n =	\|σ	\|	=	236,1 106Па			≈ 0,678.
	3

Таким образом, так как nрасч = 0,678 < 1,5 = nтеор сделали вывод о том, что условие прочности не выполняется.

2. II цилиндр. Латунь – пластичный материал, поэтому можно использовать третью теорию прочности. Выбрали максимальное по модулю напряжение – при r = 0,65 мм σ1 = σr = – 48,2 МПа, σ2 = 0 МПа, а σ3 = σφ = – 187,9 МПа. Тогда получили:

			σ		− σ ≤	στ	при n ≤ 1,5
			σ		− σ ≤		при n ≤ 1,5
				1	3	n
						n
n =	στ		=			160 106Па		≈ 1,145.
n =	σ − σ	3	=	−48,2 106Па + 187,9 106Па				≈ 1,145.
	1	3

Таким образом, так как nрасч = 1,145 < 1,5 = nтеор сделали вывод о том, что условие прочности не выполняется.

3. III цилиндр. Оксид бериллия – хрупкий материал, поэтому нужно использовать вторую теорию прочности. Выбрали максимальное по модулю напряжение – при r = 1,5 мм σ1 = σr = – 104,9 МПа, а σ3 = σφ = 374,7 МПа. Тогда получили:

− v(σ + σ ) ≤

[σ]вр

при n ≤ 1,5

n =

[σ]вр

100 106Па

≈ 0,392.

− v(σ

+ σ )

− vσ

−104,9 106Па − 0,4 374,7 106Па

Таким образом, так как nрасч = 0,392 < 1,5 = nтеор сделали вывод о том, что условие прочности не выполняется.

Соседние файлы в предмете Прикладная механика

#
25.01.20256.77 Mб6ИДЗ№2топ.docx
#
25.01.2025350.74 Кб1ИДЗ№2топ.pdf
#
25.01.2025152.84 Кб21ПриклМех ИДЗ1.1.docx
#
25.01.202517.1 Кб5ПриклМех ИДЗ1.1.xlsx
#
25.01.202581.67 Кб7ПриклМех ИДЗ1.2.docx
#
25.01.2025119.59 Кб10ПриклМех ИДЗ1.3.docx
#
25.01.2025139.63 Кб3ПриклМех ИДЗ2.1.docx