МАТАН ЭКЗАМЕН / 32 / теоремы об устойчивости знака прохождения через ноль

1.       Теорема о пределе монотонной ограниченной функции.

f(x) называется 1) возрастающей на X, 2) убывающей на X, 3) невозрастающей на X, 4) неубывающей на X,

если "иÎ X, <:

1) f() < f(),

2) f() > f(),

3) f() ³ f(),

4) f() £ f().

Функции 1) - 4) называются монотонными на X,

функции 1) - 2) называются строго монотонными на X.

Примеры:

1) f(x) =- возрастающая на [0, + ¥].

2) f(x) =[x]- неубывающая на (-¥, ¥).

Пусть f(x)- ограниченна сверху на X, то есть $ M >0, " x Î X: f(x) £ M. Число М называется верхней гранью функции f(x) на множестве Х. Наименьшая из верхних граней ограниченной сверху на X f(x) называется её точной верхней гранью и обозначается f(x).

Эквивалентное определение:

Число M называется точной верхней гранью f(x) на X, если:

1) " x Î X: f(x) £ M.

2) "< M $ΠX: f() > .

[7] Сформулировать аналогичное определение точной нижней грани функции.  f(x).

Пример:

1)sin x = 1, sin x = 0.

2)sin x = 1, sin x = 0.

Различие случаев 1) и 2) в том, что в случае 1) функция принимает значения, равные Sup и Inf, а во втором не принимает.

Теорема 2.7

Пусть f(x)- монотонная и ограниченная на полупрямой (а, + ¥), тогда существует f(x).

Доказательство:

Пусть, для определённости f(x) не убывает и ограничена сверху на (а, + ¥). Тогда она имеет на (а, + ¥) точную верхнюю грань. Введём обозначение: f(x) = b. Докажем, что  f(x) = b.

Зададим произвольное e > 0 и рассмотрим число b - e < b, по определнию точной верхней грани $ А: f(A) > b - e. Так какf(x) ³ f(a) при x ³ A, то f(x) > b - e при x ³ A, или b - f(x) < e при x ³ A, то есть | f(x) - b | < e при x ³ A. а это и означает, что  f(x) =b.

Теорема доказана.

2.       Устойчивость знака непрерывной функции.

Определение 1:

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. f(x) называется непрерывной в точке а если  f(x) = f(а)

Примеры:

f(x) = sin x непрерывна в точке х =0 , так как sin x = 0, и sin 0 = 0, то есть sin x = sin 0.

Рациональная функция f(x) = непрерывна в любой точке а, в которой (а) ¹ 0,

так как было доказано, что = ((а) ¹ 0).

Замечаение:

Так как х = а, то условие непрерывности функции можно записать в виде

 f(x) = f(x).

Таким образом, непрерывность f(x) в точке а означает, что символы  и f можно менять местами.

Определение 2.

f(x) называется непрерывной в точке а, если " e > 0 $ d > 0: | f(x) - f(а) | < e при | х - а | < d.

Пусть f(x) непрерывна в точке а и f(а) > 0. Возьмём e = f(a). По определнию 2

$ d > 0: | f(x) - f(a) | < f(а) при | х - а | < d, то есть - f(a) < f(x) - f(a) < f(a) в d- окрестности точки а.

Из последнего неравенства следует, что f(x) > 0 в d- окрестности точки а.

Итак, если f(x) положительна и непрерывна в точке а, то она остается положительной в некоторой окрестности точки а.Это свойство называется устойчивостью знака непрерывной функции.

Пусть f(x) определена на [a, a + d). Функция f(x) называется непрерывной в точке а справа, если  f(x) = f(а). (то есть f(а + 0) = f(а)).

Аналогично определяется непрерывность в точке а слева.

3.       Теорема о прохождении непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение.

Теорема 3.4

Если f(x) непрерывна на [a, b] и f(а) f(b) < 0, то $ c Î [a, b]: f(c) = 0.

Доказательство:

Пусть для определённости f(а) < 0, f(b) > 0. Тогда, в силу устойчивости знака непрерывной функции, найдётся правая полуокрестность точки а, в которой f(x) < 0.

(рисунок)

Рассмотрим множество Х таких точек Î[a, b], что f(x) < 0 на [a, ).

X ={:Î[a, b], f(x) < 0 на [a, )}.

Это множество непустое, ограниченное сверху и, следовательно, имеет точную верхнюю грань:

с º sup X. Отметим, что "x < c: f(x) < 0. (1)

Докажем, что f(с) = 0.

Допустим, что это не так.

Предположим, что f(с) > 0. Тогда Þ f(x) > 0 в некоторой окрестности точки c, и, следовательно, (рисунок)

 $ x < c: f(x) > 0, что противоречит (1).

Предположим, что f(с) < 0. Тогда f(x) < 0 в некоторой окрестности точки с.

(рисунок)

Следовательно, $> c: f(x) < 0 на [a, ), а это противоречит тому, что c = sup X.

Значит, наше предположение неверно, и f(c) = 0.

Теорема доказана.

Следствие (прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение)

Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], f(а) = A, f(b) = B. Тогда " С Î[A, B] $ c Î [a, b]: f(c) = C.

Доказательство.

Рассмотрим функцию g(x) = f(x) - C. Пусть , для определённости, A < C < B. Тогда

g(a) = f(a) - С = A - C < 0, g(b) = f(b) - C = B - C > 0. Кроме того, g(x) непрерывна на сегменте

[a, b]. Следовательно, по теореме 3.4 $ c Î [a, b]: g(c) = 0, то есть f(c) - C = 0 Þ f(c) = C, что и требовалось доказать.

4.       Непрерывность сложной функции.

Непрерывность сложной функции.

Пусть аргумент t функции y = f(t) является функцией аргумента x: t = j(x). В этом случае говорят, что переменная уявляется сложной функцией от аргумента х или у является суперпозицией функций f и j.

y = f(j (x)).

Пример:

y = sin() - сложная функция.

y = sin t, где t =.

Теорема 3.3

Если t = j(x) непрерывна в точке а j(а) = b, и функция f(t) непрерывна в точке b, то сложная функция f(j (x)) непрерывна в точке а.

Доказательство:

По определению непрерывности нужно доказать, что "e > 0 $d > 0: | f(j (x)) - f(j (a)) | < e при

| x - a | < d.

Зададим произвольное e > 0.

Так как f(t) непрерывна в точке b, то $g > 0: | f(t) - f(b) | < e при | t - b | < g. Отсюда следует, что

| f(j (x)) - f(j (a)) | < e при | j (x) - j (a) | < g. (1)

 В свою очередь, так как j (x) непрерывна в точке a,

то для указанного g $d > 0: | j (x) - j (a) | < g при | x - a | < d.(2)

Из (1) и (2) следует, что | f(j (x)) - f(j (a)) | < e, если | x - a | < d, что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

5.       Теорема о существовании, строгой монотонности и непрерывности обратной функции.

Пусть функция у = f(x) определена на множестве Х, и пусть Y - множество её значений. Пусть каждое своё значение функция принимает только в одной точке. В таком случае говорят, что функция у = f(x) осуществляет взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y. Поставим в соответствие каждому у Î Y то число х Î Х, для которого f(x) = у. Тем самым на множестве Y будет определена функция. Она называется обратной по отношению к функции у = f(x) и обозначается х =(у). Отметим, что обратной для функции х =(у) является функция y = f(x), поэтому функции y = f(x) и х =(x) называются взаимно обратными.

Примеры.

1) y =, X = [0, +¥),

x =, Y = [0, +¥).

(рисунок)

2) y =, X = (-¥, ¥).

Эта функция обратной не имеет.