МАТАН ЭКЗАМЕН / 35 / формула конечных приращений лагранжа
.docx
Конечных приращений формула Лагранжа |
Конечных приращений формула Лагранжа выражает связь между приращением любой непрерывной на отрезке [a; b] и дифференцируемой на интервале (а; b) функции y = f(x) и значением ее производной: где с – некоторое число из интервала (а; b): a < c < b. Геометрический смысл формулы Лагранжа таков: на дуге графика данной функции, соединяющей точки (а; f(a)) и (b; f(b)), найдется точка (с;f(c)) (и, возможно, не одна), в которой касательная к графику функции параллельна хорде, соединяющей концы дуги, – см. рис. Часто формулу Лагранжа записывают в другой, эквивалентной форме: где Θ – неизвестное число, зависящее, вообще говоря, от х0 и от Δх и удовлетворяющее неравенствам 0< Θ < 1. Формула Лагранжа для функции многих переменных выглядит так: где 0< Θ < 1. С помощью формулы Лагранжа можно доказать следующее ее обобщение – теорему Коши о среднем значении: если функции f и g непрерывны на отрезке [a; b] и дифференцируемы на интервале (а; b), причем g’(x) ≠ 0 на (а; b), то на интервале (а; b) существует такая точка с, что В свою очередь, эта теорема позволяет легко доказать одно из важных соотношений теории пределов – правило Лопиталя. |