МАТАН ЭКЗАМЕН / 18 / производная степени с натуральным показателем

Производную любой степени с натуральным показателем можно получить, пользуясь правилом дифференцирования произведения. Например, для нахождения производной функции    представим    как    Зная производные функций    и    вычислим производную произведения:  Выпишем формулы:  

Легко заметить общую закономерность:

Теперь найдем производную функции :  

Заметим следующее: если дробь    записать как    где    (т. е. как степень с отрицательным показателем), то   Если заменим  -n  на  k,  то получим    т. е. формула дифференцирования степени, полученная нами для натуральных показателей, остается верной и для целых отрицательных показателей: 

Выведенная формула остается верной и для дробных показателей.

Возьмем известный уже нам случай  Это функция     По формуле получится: