численные методы / теоремма чебышева

ЧЕБЫШЕВА ТЕОРЕМА

если функция f(х) непрерывна на [ а, b]и

  то Р _п (х)тогда и только тогда является многочленом наилучшего равномерного приближения для функции f(x), т. е.

  когда существуют п+2 точки { х _i}, образующие чебышиевский альтернаис то есть удовлетворяющие условию

  где =1 или -1. Сформулированная теорема была доказана П. Л. Чебышевым в 1854 (см. [1]) в более общем виде, а именно для наилучшего равномерного приближения непрерывной функции рациональными дробями с фиксированными степенями числителя и знаменателя. Ч. т. сохраняет силу, если вместо алгебраических многочленов рассматривать полином

  где  - Чебышева система. Критерий, сформулированный в Ч. т., применяется в методах приближенного построения полиномов наилучшего равномерного (чебышевского) приближения. В несколько иной формулировке Ч. т. распространяется на приближение функций комплексного переменного (см. [2]) и абстрактных функций (см. [3]).

Чебышёвский альтернанс — свойство разности между некоторой непрерывной функцией и многочленом, который приближает данную функцию. Открыт русским математиком Чебышёвым.

Теорема Чебышёва об альтернансе

Чтобы многочлен  был многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной функции , необходимо и достаточно существования на  по крайней мере  точек  таких, что

,

где  одновременно для всех 

Точки , удовлетворяющие условиям теоремы, называются точками чебышёвского альтернанса.

Пример приближения функции

Допустим, что необходимо приблизить функцию квадратного корня с помощью линейной функции (многочлена первой степени на интервале (1, 64). Так как функция квадратного корня выпуклая, существует одна точка экстремума функции. Из условия теоремы, нам необходимо  (в рассматриваемом случае — 3) точек чебышёвского альтернанса. Поэтому таковыми точками являются точка экстремума и концы интервала, на котором происходит приближение функции. Обозначим .  — точка экстремума. Тогда имеют место следующие уравнения:

Здесь  — разности между значениями функции и многочлена. Вычитая первое уравнение из третьего, можно получить, что

Так как  — точка экстремума, а линейная функция и функция квадратного корня непрерывны и дифференцируемы, определить значение  можно из следующего уравнения:

Отсюда 

Теперь можно вычислить 

Следовательно, наилучшее линейное приближение функции  на интервале от 1 до 64:

.