численные методы / метод секущих

Метод секущих

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Метод секущих — один из численных методов решения уравнений.

Описание

В качестве функции  берут любую постоянную , знак которой совпадает со знаком производной  в окрестности (и, в частности, на отрезке, соединяющем  и ). Постоянная  не зависит также и от номера шага. Тогда формулаитераций оказывается очень проста:

и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции .

Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков  и . Рассмотрим прямую, проходящую через точку  на графике  с угловым коэффициентом . Тогда уравнением этой прямой будет

Иллюстрация последовательных приближений метода секущих.

Найдём точку пересечения этой прямой с осью  из уравнения

откуда . Следовательно, эта прямая пересекает ось как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки , через соответствующие точки графика  проводятся секущие с угловым коэффициентом  того же знака, что производная . (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция  или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных , имеют один и тот же угловой коэффициент  и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью .

На чертеже справа изображены итерации при  в случае  и в случае . Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка  уже на первом шаге «перепрыгивает» по другую сторону от корня , и итерации начинают приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки  приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него.

Условие сходимости

Достаточное условие сходимости, таково:

Это неравенство может быть переписано в виде

откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых,

так как  (тем самым проясняется смысл выбора знака числа ), а во-вторых, когда  при всех на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если

где . Таким образом, угловой коэффициент  не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка  может выскочить из рассматриваемой окрестности корня , и сходимости итераций к корню может не быть.