численные методы / стрелков
.docВопросы к экзамену по курсу "Численные методы"
(ПМИ-4, 2012-2013 уч. год)
1. Постановка задачи интерполяции алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Лагранжа (35-36).
2. Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа (37).
3. Разделенные разности и их свойства (37-39).
4. Формула Ньютона с разделенными разностями (39-41).
5. Многочлены Чебышева и их свойства (56-59).
6. Оптимальный выбор узлов интерполяции (59-62).
7. Конечные разности и их свойства (62-64).
8. Формулы Ньютона для интерполирования вперед и назад (65-67).
9. Простейшие формулы численного дифференцирования; оценки остаточных членов (лекции).
10. Вычислительная погрешность формул численного дифференцирования (92-94, лекции).
11. Простейшие квадратуры типа Ньютона-Котеса - прямоугольников, трапеций, Симпсона; оценка погрешности (95-97, 99-101).
12. Процесс ортогонализации (78-80).
13. Ортогональные многочлены; свойство их нулей (86-87).
14. Квадратурные формулы Гаусса (107-111).
15. Квадратуры Гаусса для p(x)=1; многочлены Лежандра (лекции).
16. Квадратура Эрмита (117-118).
17. Составные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона (132, лекции).
18. Правило Рунге практической оценки погрешности (167-170).
19. Наилучшие приближения в гильбертовом пространстве (212-214).
20. Постановка задачи наилучшего равномерного приближения. Теоремы Валле-Пуссена, Чебышева, единственности (225-228).
21. Свойства многочленов наилучшего равномерного приближения и примеры их построения (228-231).
22. Понятие о приближении сплайнами. Экстремальное свойство интерполяционных сплайнов 1-го порядка (256-257, лекции).
23. Метод простой итерации решения линейных алгебраических систем (335, 338-339).
24. Метод Зейделя. Достаточное условие сходимости (363-364).
25. Метод наискорейшего градиентного спуска (369-371).
26. Метод простой итерации решения нелинейных уравнений (407-408).
27. Метод Ньютона (лекции).
28. Метод секущих (лекции).
29. Метод Стеффенсена (лекции).
30. Понятие о методе вращений решения полной проблемы собственных значений (400-404).
31. Методы Рунге-Кутта (450-455).
32. Оценка полной погрешности метода Эйлера (лекции).
33. Конечноразностные методы (471-475).
34. Простейшая разностная схема для краевой задачи второго порядка. Погрешность аппроксимации (лекции).
35. Принцип максимума, теорема сравнения (лекции).
36. Априорная оценка и оценка скорости сходимости в равномерной метрике (лекции).
37. Формула суммирования по частям. Простейшие разностные аналоги теорем вложения (лекции).
38. Априорная оценка и оценка скорости сходимости в энергетической норме (лекции).
39. Метод стрельбы (549).
40. Метод прогонки (552-553).
ЛИТЕРАТУРА
Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973 (или 1975).
ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ,
незнание хотя бы одного из которых гарантирует оценку "НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО"
1. Постановки основных задач, рассматривавшихся в курсе.
2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
3. Основные свойства многочленов Чебышева.
4. Простейшие формулы численного дифференцирования.
5. Квадратуры прямоугольников, трапеций, Симпсона.
6. Формулировка теоремы Чебышева.
7. Идеи построения методов простой итерации, Ньютона, секущих.
8. Формула суммирования по частям.
9. Методы стрельбы и прогонки.