20. Спм. Определение и свойства. Теорема Винера-Хинчина.
Спектральную
плотность мощности S(ω) можно определить
как усредненный квадрат спектральной
плотности случайной последовательности
теоретически бесконечной длины
:
где
— спектральная плотность последовательности
x(n) :
fд— частота дискретизации
Свойства СПМ:
1) СПМ – четная функция
2) СПМ – вещественная функция частоты
3) СПМ – Неотрицательная функция частоты
4) Взаимная спектральная плотность для стационарных случайных процессов
Теорема Винера—Хинчина: СПМ S(ω) есть Фурье-изображение АКФ Rx(m) последовательности x(n) , теоретически бесконечной длины:
При конечной длине N последовательности имеем формулу для оценки СПМ:
где
— оценка АКФ — четная функция длины L=
2N-1, центрированная относительно m = 0 .
Также есть другая трактовка данной теоремы
Корреляционная функция случайного процесса и его спектральная плотность мощности связаны друг с другом преобразованием Фурье. Это соотношение носит название теоремы Винера — Хинчина.
Очень часто используемая модель случайного процесса оказывается такова, что воспользоваться непосредственно определением для расчета спектральной плотности мощности не представляется возможным. Если при этом удается вычислить корреляционную функцию, получить спектральную информацию позволяет теорема Винера — Хинчина
Так же есть другая трактовка и для СПМ
В
усредненном модуле спектральной
плотности
исключено
влияние фазовых составляющих
. Оказывается, что именно они определяют
случайный характер спектральных
плотностей
, в то время как квадрат усредненного
модуля
стремится к некоторому пределу — функции
частоты, которую и выбрали в качестве
статистической характеристики случайного
процесса в частотной области и назвали
спектральной плотностью мощности (СПМ)
.
21.Обработка случайного процесса лдс. Соотношение вход/выход для акф и спм.
Установим связи между статистическими характеристиками входного x(n) и выходного у(n) эргодических случайных процессов ЛДС.
Запишем соотношение вход/выход в виде формулы свертки при ННУ:
И его отображение в частотной области
где
X(e) и Y(e) - соответственно спектральные плотности эргодических случайных процессов x(n) и y(n)
H(e) - частотная характеристика ЛДС и одновременно спектральная плотность импульсной характеристики h(n)
Определим
СПМ
эргодического
случайного процесса y(n):
откуда, с учетом определения Sx, имеем связь между СПМ выходного и входного эргодических случайных процессов:
Детерминированную
функцию
можно
трактовать как СПМ
импульсной
характеристики h(n)
Поэтому это соотношение можно представить в виде
Согласно
теореме Винера-Хинчина, во временной
области СПМ
,
и
соответсуют АКФ
,
и
.
Фактически в соотношении
Уга буга
Все
СПМ являются функциями аргумента
,
поэтому подставляя
, можно перейти у соотношению в z области:
Что позволит на основании теоремы о свертке установить связь между АКФ выходного и входного эргодических случайных процессов:
Где
АКФ
называют системной корреляционной
функцией (СКФ) и с учетом ее четности
определяют
при ННУ для импульсной характеристики:
Математическое
ожидание
определим используя свойство линейности
оператора математического ожидания M,
с учетом чего для эргодического случайного
процесса y(n) полцчим:
Задержка эргодического случайного процесса x(n) не меняет его статистических характеристик, что позволяет установить связь между математическими ожиданиями выходного и входного эргодических случайных процессов:
Определить
подобным образом связь между дисперсиями
и
невозможно, т. к. свойства оператора
дисперсии D{.} справедливы лишь для
независимых случайных величин, а отсчеты
x(n) в общем случае коррелированны.
Среднюю мощность определим:
И она будет равна
При нулевом среднем = 0 получим соотношение для дисперсии
