12. Бпф и обпф. Алгоритм вычисления с прореживанием по частоте.
Про БПФ и ОБПФ инфа в вопросе 11
Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте является дуальным по отношению к алгоритму БПФ с прореживанием по времени. В соответствии с принципом дуальности, меняя местами вход с выходом и направления стрелок в направленном графе базовой операции "бабочка" на рис. 11.3, получим направленный граф базовой операции "бабочка" для алгоритма БПФ с прореживанием по частоте (рис. 11.6).
Количество "бабочек" на любом i-м этапе остается неизменным, равным N/2.
Формула для первого этапа:
Начальные условия алгоритма — исходная последовательность x(n) в естественном порядке следования (см. рис. 11.1 (или как здесь указано 13.1) с изменением направления стрелок):
На рис. 11.7 представлен направленный граф алгоритма БПФ с прореживанием по частоте для 8-точечного ДПФ, дуальный по отношению к графу алгоритма БПФ с прореживанием по времени (см. рис. 11.5).
13. Многоскоростные системы. Система однократной децимации.
Многоскоростные системы:
Многоскоростными называют системы ЦОС, в которых различные этапы цифровой обработки выполняются на разных частотах дискретизации — разных скоростях поступления отсчетов. В таких системах необходима "стыковка" соответствующих этапов цифровой обработки, которая сводится к преобразованию частоты дискретизации в одном из следующих вариантов или их комбинации:
-от меньшей к большей — повышение частоты дискретизации в целое число раз L, называемое интерполяцией (interpolation) и выполняемое системой интерполяции с коэффициентом интерполяции L, равным
где
— частоты дискретизации сигналов на
входе и выходе системы интерполяции
соответственно;
-от большей к меньшей — понижение частоты дискретизации в целое число раз M, называемое децимацией (decimation) и выполняемое системой децимации с коэффициентом децимации M, равным:
где — частоты дискретизации сигналов на входе и выходе системы децимации соответственно.
Повышение или понижение частоты дискретизации на рациональный коэффициент L M , называемое передискретизацией (resampling), реализуется каскадным соединением систем интерполяции с коэффициентом L и децимации с коэффициентом M.
Системы преобразования частоты называют однократными, если увеличение (уменьшение) частоты дискретизации выполняется за один прием — однократно.
Многократными называют системы, образованные каскадным соединением однократных систем, что оправдано при больших значениях L и M, т. к. требования к однократным системам существенно менее жесткие.
В ЦОС преобразование частоты дискретизации выполняется средствами цифровой фильтрации, в результате которой формируется выходной сигнал с новой частотой дискретизации.
Система однократной децимации
Система однократной децимации включает в себя два блока (рис. 19.4):
цифровой ФНЧ;
компрессор.
Цифровой
ФНЧ с передаточной функцией H(z) предназначен
для ограничения верхней частоты ωд/2
спектральной плотности
входного сигнала x(nT) до
,
что требует пояснения.
Соотношение
между частотами дискретизации
спектральных
плотностей
и
позволяет интерпретировать "новую"
шкалу ω′ как растяжение "старой"
шкалы ω в M раз
(рис. 19.5, а, б).
В
общем случае спектральная плотность
может занимать всю основную полосу
(рис.
19.5, а). При этом для "новой" частоты
дискретизации
не будет выполняться условие теоремы
Котельникова
,
где
,
что приведет к элайсингу (эффект наложения
спектральных плотностей в области )(см.
пунктирные линии на рис. 19.5, б). Чтобы
этого избежать, идеальная АЧХ ФНЧ в
основной полосе частот шкалы ω′ должна
удовлетворять требованиям (рис. 19.5, в):
или в шкале частот ω :
Модуль
спектральной плотности
промежуточного сигнала w(nT) на выходе
ФНЧ показан на рис. 19.5, г.
Компрессор (блок со стрелкой вниз на рис. 19.4) формирует выходной сигнал y(nT′) путем прореживания промежуточного сигнала w(nT), из которого берется каждый M-й отсчет, в результате чего "новый" период дискретизации оказывается равным T′=MT (рис.19.6, а, б):
Модуль спектральной плотности выходного сигнала в "новой" ω′ и "старой" ω шкалах частот показан на рис. 19.5, д, е.
Модули
спектральной плотности дискретного
сигнала на выходе компрессора и
спектральной плотности дискретного
сигнала, которая была бы получена при
непосредственной дискретизации исходного
аналогового сигнала с частотой
,
совпадают, а аргументы различаются .
В действительности АЧХ не является идеальной, поэтому не только аргументы, но и модули спектральных плотностей могут отличаться. Для сохранения формы исходного сигнала (исключения влияния фазовых искажений) в качестве ФНЧ выбирают КИХ-фильтр с линейной ФЧХ.