7. Растекание спектра. Методы борьбы с растеканием спектра.

Растеканием спектра называют появление дополнительных составляющих в спектральном составе последовательности при вычислении ДПФ.

Ранее было определено условие , при котором гарантируется точное выделение гармоник последовательности x(n) с частотами fi

Эффект растекания спектра наблюдается в том случае, если хотя бы для одной из дискретных гармоник, входящих в спектральный состав последовательности, с частотой fi на интервале NT укладывается нецелое число периодов Ti и отношение :

оказывается не целым числом, а частота гармоники fi — не кратной периоду дискретизации по частоте (солонина предлагает сравнить с ): .

Вследствие этого в периодическом продолжении гармоники с частотой fi появятся разрывы (скачки) на границах периода последовательности, из-за которых спектр расширяется.

Для уменьшения эффекта растекания спектра (полностью он принципиально неустраним) применяют весовые функции (окна) — вещественные неотрицательные последовательности, максимальные в центре и монотонно спадающие к границам, что ослабляет влияние разрывов при периодическом продолжении последовательности. Выбор окна — не формализуемая задача, решаемая, как правило, простым перебором окон и/или изменением их параметров.

8. Улучшение различения дискретных гармоник с близко расположенными частотами. Условия для различения дискретных гармоник с близко расположенными частотами.

При вычислении ДПФ конечной последовательности длины N разрешение по частоте равно периоду дискретизации по частоте .

Для улучшения различения дискретных гармоник с близко расположенными частотами f1 и f2 , расстояние между которыми удовлетворяет условию:

исходную последовательность надо дополнить нулями до длины L :

Затем по L точкам восстановить спектральную плотность с периодом дискретизации по частоте и по графику модуля спектральной плотности определить ближайшие пики с максимальными амплитудами на частотах, близких к f1 и f2 . В общем случае эти частоты могут быть некратными периоду , а следовательно, они будут определяться с погрешностью.

9. Вычисление круговой и линейной свёртки с помощью дпф.

Функция conv для вычисления реакции по формуле свертки (линейная свертка):

где длина линейной (апериодической) свертки, а N1 и N2 — длины импульсной характеристики h(n) и воздействия x(n) .

Для сокращения объема вычислений линейная свертка рассчитывается на основе круговой свертки с помощью ДПФ и ОДПФ с использованием алгоритмов БПФ и ОБПФ.

В общем случае круговая свертка периодических последовательностей x1(n) и x2(n) с одинаковым периодом N определяется как

где записи (n-m) mod N соответствует значение (n-m) по модулю N.

Для вычисления круговой свертки рассчитывается N-точечное ДПФ, равное произведению N-точечных ДПФ сворачиваемых последовательностей:

а затем с помощью ОДПФ — последовательность x(n).

Для перехода от линейной свертки к круговой с периодом L последовательности h(n) и x(n) дополняют нулями до длины L :

где — дополненные нулями последовательности h(n) и x(n).

Рассчитывается L-точечное ДПФ круговой свертки

а затем с помощью ОДПФ — реакция y(n) .

Отметим, что длина реакции равна длине второго аргумента N2 (воздействия), в то время как при использовании функции conv для вычисления реакции ее длина будет равна длине линейной свертки L.

%%%

Справка из лабы: Преимущество вычисления с помощью ДПФ: Для сокращения вычислительных затрат линейную свертку рассчитывают с помощью ДПФ.

В каком случае длину реакции необходимо ограничить до длины воздействия: Ограничение длины реакции вводится с целью повысить стабильность системы.

%%%