3. Дпф конечной последовательности. Дпф периодической последовательности.

ДПФ конечной последовательности

Для установления связи между периодической и конечной последовательностями определим значения функции ( - это ряд фурье) в точках на периоде :

Представим бесконечную сумму в виде бесконечного числа конечных сумм, сдвинутых друг относительно друга по времени n на N:

и изменим порядок суммирования:

Сравнивая это равенство с ( - дпф), получаем искомую связь между последовательностями :

Периодическая последовательность xp(n) с периодом N может быть представлена в виде бесконечной суммы копий конечной последовательности x(n), сдвинутых друг относительно друга на N.

Отсутствие элайсинга (наложения последовательностей) гарантируется для конечной последовательности x(n) длины N

В этом случае в ДПФ (здесь должна быть отсылка на ДПФ и ОДПФ) периодическую последовательность x(n) можно трактовать как периодическое продолжение конечной последовательности длины N, а ДПФ X(k) — как равноотстоящие отсчеты ее спектральной плотности на периоде :

(1)

В соответствии с теоремой Котельникова в частотной области, для финитной последовательности длительности гарантируется точное восстановление непрерывной спектральной плотности по ее отсчетам, взятым с периодом дискретизации

Следовательно, по отсчетам ДПФ X(k) (1) гарантируется точное восстановление спектральной плотности на периоде

Отметим, что модуль ДПФ конечной последовательности совпадает с амплитудным спектром периодической последовательности с точностью до множителя 1/N

ДПФ периодической последовательности

Для периодической последовательности x(n) c периодом N ДПФ X(k) совпадает с ее спектром Xp(k) с точностью до множителя 1/N:

Модуль ДПФ называют амплитудным спектром, а аргумент - фазовым спектром периодической последовательности.

Амплитудный спектр вещественной периодической последовательности равен модулю ДПФ |X(k)| с точностью до множителя:

Для установления связи между спектрами дискретного и аналогового сигналов определим значения функции в точках t=nT на периоде:

Представим бесконечную сумму в виде бесконечного числа конечных сумм, сдвинутых друг относительно друга по частоте k на N:

(1)

и изменим порядок суммирования:

(2)

Запишем ДПФ ( )с учетом принятого для ДПФ обозначения ( ) и определения спектра Xp(k):

Сравнивая (1) c (2) получаем искомую связь между спектрами: (3)

Спектр дискретного сигнала Xp(k) с периодом N равен бесконечной сумме копий спектра аналогового сигнала Xa(k) , сдвинутых друг относительно друга на N.

Отсутствие элайсинга (наложения спектров) в (3) гарантируется для финитного спектра Xa(k) ширины N.

В этом случае гарантируется точное восстановление аналогового сигнала по отсчетам ДПФ:

где

ДПФ X(k) связано взаимно однозначно с периодической последовательностью x(n)( ). Значит, по отсчетам данной последовательности также гарантируется точное восстановление аналогового сигнала с финитным спектром, что согласуется с теоремой Котельникова.

СТАРАЯ ВЕРСИЯ ДЛЯ СПРАВКИ:

Формулы ДПФ (ДПФ и ОДПФ, описаны во втором вопросе) имеют двойную трактовку:

-для периодической последовательности x(n) с периодом N ДПФ X(k) — это ее спектр с точностью до множителя 1/N ;

(можно добавить):

Модуль ДПФ |X(k)| (с точностью до множителя 1/N) называют амплитудным спектром, а аргумент arg {X(k)} — фазовым спектром периодической последовательности.

Амплитудный спектр вещественной периодической последовательности равен модулю ДПФ |X(k)| с точностью до множителя:

-для конечной последовательности x(n) длины N ДПФ X(k) — это дискретные отсчеты ее СП в N дискретных точках на периоде ωд .

! Модуль ДПФ |X(k)| конечной последовательности совпадает с амплитудным спектром периодической последовательности с точностью до множителя 1/N .

!!!

Так же есть такая шляпа (взято из DSP_12.pdf пункт 12.4). Мне не ясно что здесь такое вообще (выделил говном)

Формулы ДПФ (ДПФ и ОДПФ, описаны во втором вопросе) примут общий вид для периодической последовательности с периодом N и конечной последовательности длины N :

где - поворачивающий множитель:

x(n) — N-точечная последовательность (один период);

X(k) — N-точечное ДПФ (один период).

!!!

(не уверена, что нужно):

(? В солонине, где лабы) Согласно определению, при вычислении ДПФ предполагается, что последовательность x(n) является периодической, и конечная последовательность представляет собой один период периодической последовательности.

(В солонине, связь между последовательностями) Периодическая последовательность хp(n) с периодом N может быть представлена в виде бесконечной суммы копий конечной последовательности x(n), сдвинутых друг относительно друга на N: