38. Фильтр Винера. Достоинства и недостатки.
Фильтром
Винера
называют АФ с оптимальными
параметрами при выборе в качестве
критерия
наилучшего приближения выходного
сигнала
к образцовому сигналу
минимума
среднего
квадрата
сигнала ошибки
(17.3):
,
(17.4)
где
—
вектор параметров АФ
,
;
—
оператор
математического ожидания (среднего
значения), следовательно:
,
(17.5)
где
—
длина случайных сигналов
,
в предположении, что они — эргодические
и
коррелированные.
Вектор
находится в результате решения
оптимизационной задачи — поиска
минимума функции
,
не зависящей
от времени:
.
Минимум
достигается при равенстве нулю ее
частных производных по всем
в момент времени
:
,
.
Выполним
замену
в
вне
квадратных
скобок и разделим обе части равенства
на 2:
,
.
Перенесем сумму с неизвестными параметрами в левую часть:
,
.
(17.6)
Справа
имеем значения оценки взаимной
корреляционной функции (ВКФ)
:
,
,
которая позволяет оценить зависимость между отсчетами коррелированных сигналов и при различных сдвигах по времени m.
Для
некореллированных
сигналов
=0.
Рассмотрим левую часть (17.6). Изменим порядок суммирования:
,
.
В
квадратных скобках имеем значения
оценки АКФ
,
,
входного сигнала
,
.
Таким образом, (17.6) можно представить в виде СЛАУ:
.
(17.7)
Формирование
АКФ
,
,
,
иллюстрирует рис. 17.2:
а — АКФ
последовательности
длины
;б — АКФ
последовательности
на интервале
(зеленый);в — АКФ
последовательности
на том
же
интервале;и т.д.
г — АКФ
последовательности
на том
же
интервале.
Рис. 17.2. АКФ , ,
Значения
АКФ
удобно представить в виде квадратной
матрицы (рис. 17.2): первая строка —
,
вторая —
и т. д.:
,
и записать СЛАУ (17.7) в виде системы уравнений Винера—Хопфа с матрицей Теплица:
.
(17.8)
Краткая запись (17.8):
,
(17.9)
где
—
корреляционная
матрица
входного сигнала;
—
вектор-столбец параметров
АФ;
—
вектор-столбец значений ВКФ.
Решением
системы (17.9) является вектор оптимальных
параметров АФ
:
,
(17.10)
где
—
обратная
корреляционная матрица.
Фильтр Винера применяют для обработки эргодических сигналов с инвариантными во времени статистическими характеристиками и .
Если это заранее неизвестно, то фильтр Винера не используют вследствие вычислительной сложности алгоритма адаптации (17.10).
(0)
В этом случае с поступлением каждого
нового отсчета сигнала
придется рассчитывать новые параметры
АФ
по неизвестным статистическим
характеристикам
и
,
и каждый раз повторять трудоемкую
операцию обращения матрицы
.
Для сокращения вычислительных затрат была предложена идея вычисления параметров АФ в процессе поступления отсчетов входных сигналов без вычисления АКФ и ВКФ. Это оказалось возможным при выборе других критериев наилучшего приближения к образцовому сигналу и позволило установить рекуррентную связь параметров АФ при переходе от текущего к следующему моменту времени.
Наибольшее распространение получили два рекуррентных алгоритма вычисления параметров АФ:
алгоритм LMS (Least Mean Squares) — метод наименьших квадратов;
алгоритм RLS (Recursive Least Squares) — рекуррентный метод наименьших квадратов.
Достоинство: оптимальность
Недостаток: сложность реализации вследствие вычислительной сложности алгоритма адаптации (ссылка (0))