30. Ковариационный метод и модифицированный ковариационный метод. Достоинства и недостатки.

Ковариационный метод

Ковариационный метод отличается от автокорреляционного вычислением оценки АКФ, значения которой рассчитываются только по известным отсчетам последовательности х(n) (без добавления нулей).

Так же как автокорреляционный, ковариационный метод основан на представлении последовательности x(n) с линейным предсказанием вперед, однако при определении среднего квадрата ошибки линейного предсказания отбрасываются (М-1) первых отсчетов последовательности:

И оптимизируемая функция принимает вид:

В результате решения оптимизационной задачи:

Будет получена СЛАУ:

С оценкой АКФ:

И матричной записью СЛАУ, где p = (M-1) :

Однако корреляционная матрица не является здесь матрице Теплица

Для вещественной последовательности корреляционная матрица будет симметричной, а для комплексной - эрмитовой, положительно определенной. В обоих случаях это позволяет для решения СЛАУ использовать эффективный численный метод с разложением Холецкого.

Решением системы уравнений является вектор параметров линейного предсказания a - оценок параметров АР-модели à. Значения вектора à в автокорреляционном и ковариационном методах будут несколько отличаться, т. к. отличаются их оценки АКФ.

Достоинсва метода: Более высокая точность при анализе "коротких" последовательностей по сравнению с методом Юла—Уолкера с тем же порядком АР-модели

Недостатки метода: Требуют проверки фильтра на устойчивость БИХ-фильтра, соответствующего АР-модели

В кратце: Ковариационный метод основан на вычислении оценки АКФ по известным отсчетам последовательности x(n) (без добавления нулей в начале и в конце), для чего последняя усекается симметрично справа и слева на (M-1) отсчётов, и оценка АКФ нормируется к длине усеченной последовательности [L-2(M-1)]. В соответствующей СЛАУ корреляционная матрица не является матрицей Тёплица.

Модифицированный ковариационный метод

Модифицированный ковариационный метод отличается от ковариационного вычислением оценки АКФ, значения которой, также как в ковариационном методе, рассчитываются только по известным отсчетам последовательности х(n).

Модификация же заключается в следующем.

Наряду с представлением последовательности x(n) с линейным предсказанием вперед, где добавлен верхний индекс "f" (forward):

И определения среднего квадрата ошибки линейного предсказания с отбрасыванием (M-1) первых отсчетов последовательности:

рассматривается представление последовательности x(n) с линейным предсказанием назад (Backward linear prediction) — линейной комбинацией (М-1) последующих отсчетов, где добавлен верхний индекс "b" (backward):

И определяется средний квадрат ошибки линейного предсказания с отбрасыванием (M-1) последних отсчетов последовательности:

Равный

В результате решения оптимизационной задачи :

Где обозначив p=(M-1):

После тождественных преобразований с учетом связи параметров с параметрами будет получена СЛАУ:

С оценкой АКФ:

И матричной записью СЛАУ:

в которой корреляционная матрица также не является матрицей Теплица и для ве- щественной последовательности будет симметричной, а для комплексной — эрмитовой, положительно определенной. Для решения СЛАУ используется метод с разложением Холецкого.

Решением системы уравнений является вектор параметров линейного предсказания a- оценок параметров АР-модели à. Значения вектора à.в автокорреляционном, ковариационном и модифицированном ковариационном методах будут несколько различаться, т. к. различаются их оценки АКФ.

В кратце:

Модифицированный ковариационный метод основан на вычислении оценки АКФ для расширенной последовательности, составленной из последовательностей с линейным предсказанием вперед и назад. Оценка АКФ вычисляется так же, как в ковариационном методе, и нормируется к удвоенной длине последовательности 2[L-2(M-1)]. В соответствующей СЛАУ корреляционная матрица не является матрицей Теплица.

Достоинсва метода: Более высокая точность при анализе "коротких" последовательностей по сравнению с методом Юла—Уолкера с тем же порядком АР-модели. Как правило, не приводит к расщеплению пиков и по сравнению с ковариационным методом обеспечивает их меньшее смещение

Недостатки метода: Требуют проверки фильтра на устойчивость БИХ-фильтра, соответствующего АР-модели