29. Метод Юла-Уолкера. Метод Бёрга. Достоинства и недостатки.
Метод Юла-Уолкера (автокорреляционный)
Автокорреляционный метод основан на представлении анализируемой последовательности x(n) c линейным предсказанием вперед - линейной комбинации (M-1) предшествующих отсчетов:
Где
,
-
параметры линейного предсказания;
ошибка линейного предсказания, равная
:
Сравним представление анализируемой последовательности x(n) с моделируемой последовательностью y(n) :
Они отличаются только тем, что уравнение
Содержит
ошибку линейного предсказания
,
а разностное уравнение АР-модели -
нормальный белый шум.
Ошибка
линейного предсказания
не
обязательно является нормальным белым
шумом, однако близка к нему, поэтому ее
средний квадрат можно считать оценкой
дисперсии нормального белого шума
, в АР-модели , и выбирать в качестве
критерия наилучшего приближения
моделируемой последовательности к
анализируемой равенство
Где М - оператор мат. Ожидания
В этом случае вычислив параметры линейного предсказания , получим оценки параметров АР-модели , и на их основе - оценку дисперсии
Параметры линейного предсказания рассчитываются в результате решения оптимизационной задачи - поиска минимума среднего квадрата ошибки линейного предсказания :
Лол
Где
a - вектор параметров линейного предсказания
Выполним
замену
в x(n-k) вне квадратных скобок и разделим
обе части равенства на 2 :
Оставим в левой части неизвестные параметры :
И изменим порядок суммирования :
Справа имеем значения оценки АКФ последовательности x(n) :
А
слева в квадратных скобках - значения
оценки АКФ
последовательности x(n-k):
С учетом этого СЛАУ формулу
Можно записать в виде
На
рисунке ниже изображены графики оценки
АКФ
)
и ее смещенных копий
Значения
оценки АКФ
( на рисунке они выделены жирными линиями)
представляют в виде корреляционной
матрицы - матрицы Теплица; первая строка
-
,
вторая
и т.д.:
С
учетом чего получим матричную запись
СЛАУ известную как система уравнений
Юла-Уокера, где принято обозначение
Для решения данной системы уравнений разработан рекуррентный алгоритм Левинсона-Дарбина , реализованный в МАТЛАБЕ БЛЯТЬ.
Решением системы уравнений является вектор параметров линейного предсказания a - оценок параметров АР-модели a (со шляпкой)
Автокорреляционный метод основан на традиционном вычислении оценки АКФ по формуле:
В предположении, что неизвестные (M-1) отсчетов в начале последовательности равны нулю:
Достоинства метода: Хороший результат при анализe "длинных" последовательностей Гарантирует устойчивость БИХ-фильтра, соответствующего АР-модели
Недостки метода: Для "коротких" последовательностей завышенный порядок АР-модели может сопровождаться смещением и расщеплением пиков.
Метод Бёрга
Метод основан на вычислении оценок параметров АР-модели непосредственно по отсчетам последовательности (без вычисления оценки АКФ) с линейным предсказанием вперед и назад с минимизацией усредненной суммы средних квадратов ошибок линейного предсказания.
Достоинства метода: Хороший результат при анализе "длинных" последовательностей и удовлетворительный при анализе "коротких" последовательностей. Гарантирует устойчивость БИХ-фильтра, соответствующего АР-модели
Недостки метода: Для "коротких" последовательностей завышенный порядок АР-модели может сопровождаться смещением и расщеплением пиков