25. Метод периодограмм Бартлетта. Метод периодограмм Уэлча

Метод периодограмм Бартлетта

В методе периодограмм Бартлетта сглаживание периодограммы достигается за счет разбиения исходной последовательности длины N на неперекрывающиеся фрагменты длины L :

где p — номер фрагмента, P = N/L — их количество , и вычисления периодограмм фрагментов: (1)

Периодограмма Бартлетта исходной последовательности определяется как усредненная сумма периодограмм фрагментов(1): (2)

Оценка СПМ (2) является асимптотически несмещенной и при этом состоятельной за счет деления последовательности на неперекрывающиеся фрагменты и усреднения периодограмм фрагментов.

Если АКФ R(m) фрагментов затухает до пренебрежимо малых величин, т. е , то периодограммы фрагментов можно считать независимыми. В этом случае дисперсия периодограммы Бартлетта будет обратно пропорциональна количеству фрагментов P , и, как следствие, периодограмма Бартлетта будет более сглаженной (менее осциллирующей), чем периодограмма Даньелла. По этой причине количество фрагментов P стремятся увеличивать. С другой стороны, это приводит к уменьшению длины фрагмента L , а следовательно, уменьшению разрешения по частоте — увеличению . Поэтому количество фрагментов P выбирается из соображений компромисса между уменьшением дисперсии оценки СПМ и приемлемым разрешением по частоте.

Достоинства: Даёт асимптотически состоятельную оценку энергетического спектра;

Позволяет уменьшить дисперсию периодограммы в обмен на снижение разрешения по сравнению со стандартными периодограммами.

Недостатки: Сглаживание, вносимое окном Бартлетта, ограничивает способность периодограммы различать близко расположенные узкополосные составляющие спектра; Большие боковые лепестки прямоугольного окна могут привести к маскировке слабых узкополосных составляющих

Еще немного инфы про бартлетта

При вычислении периодограммы по длинному фрагменту случайного сигнала она оказывается весьма изрезанной. Для уменьшения этой изрезанности необходимо применить какое-либо усреднение. В методе Бартлетта (Bartlett) анализируемый сигнал делится на неперекрывающиеся фрагменты, для каждого фрагмента вычисляется периодограмма и затем эти периодограммы усредняются. Если корреляционная функция сигнала на длительности фрагмента затухает до пренебрежимо малых значений, то периодограммы отдельных фрагментов можно считать независимыми. В этом случае дисперсия периодограммы Бартлетта обратно пропорциональна числу используемых фрагментов, однако с ростом числа фрагментов при фиксированном общем числе отсчетов сигнала падает спектральное разрешение (за счет того, что фрагменты становятся короче).

Метод периодограмм Уэлча

В методе периодограмм Уэлча сглаживание периодограммы достигается за счет разбиения исходной последовательности длины N на перекрывающиеся фрагменты длины L со сглаживающим окном и величиной перекрытия Q , где Q<L :

где p — номер фрагмента, P — их количество на длине N исходного сигнала, равное:

и вычисления периодограмм перекрывающихся фрагментов:

(3)

Периодограмма Уэлча исходной последовательности определяется как усредненная сумма периодограмм фрагментов (3) (4)

Оценка СПМ (4) является асимптотически несмещенной и при этом состоятельной за счет деления последовательности на перекрывающиеся фрагменты и усреднения периодограмм фрагментов. Качество оценки, по сравнению с периодограммой Бартлетта, повышается за счет увеличения общего количества фрагментов при их перекрытии. Как следствие, периодограмма Уэлча будет менее осциллирующей (изрезанной), чем периодограмма Бартлетта.

Достоинства: Хорошее сглаживание сигналов; Использование окон (весовых функций) и частично перекрывающихся сегментов сигнала; Дисперсия оценки спектра мощности меньше, чем при методе Бартлетта

Недостатки: Возможная потеря острых пиков спектра; С ростом степени перекрытия увеличиваются вычислительные затраты и корреляция между отдельными подпоследовательностями.

Еще немного инфы про уэлча

Уэлч (Welch) внес в метод Бартлетта два усовершенствования: использование весовой функции и разбиение сигнала на перекрывающиеся фрагменты. Применение весовой функции позволяет ослабить растекание спектра и уменьшить смещение получаемой оценки спектра плотности мощности ценой незначительного ухудшения разрешающей способности. Перекрытие фрагментов введено для того, чтобы увеличить их число и уменьшить дисперсию оценки. Итак, вычисления при использовании метода Уэлча (он называется еще методом усреднения модифицированных периодограмм — averaged modified periodogram method) организуются следующим образом:

1. Вектор отсчетов сигнала делится на перекрывающиеся фрагменты. Как правило, на практике используется перекрытие на 50%. Строго говоря, оптимальная степень перекрытия зависит от используемой весовой функции.

2. Каждый фрагмент умножается на используемую весовую функцию.

3. Для взвешенных фрагментов вычисляются модифицированные периодограммы.

4. Периодограммы всех фрагментов усредняются.

Так же как и для периодограммы Бартлетта, дисперсия оценки, получаемой методом Уэлча, уменьшается примерно пропорционально числу фрагментов. Благодаря перекрытию в методе Уэлча используется больше фрагментов, поэтому дисперсия оценки спектра плотности мощности оказывается меньше, чем для метода Бартлетта.

26. Метод Блэкмана-Тьюки. Спектограмма.

Метод Блэкмана-Тьюки

Метод Блэкмана—Тьюки основан на использовании теоремы Винера—Хинчина, согласно которой СПМ S(ω) есть Фурье-изображение АКФ Rx(m) последовательности x(n) , теоретически бесконечной длины:

При конечной длине N последовательности имеем формулу для оценки СПМ:

где — оценка АКФ — четная функция длины L= 2N-1, центрированная относительно m = 0 .

Блэкманом и Тьюки было предложено:

- при быстро затухающей оценке АКФ ограничить максимальный сдвиг по времени m значением N1 = int(N/ 10) (округление до ближайшего целого в сторону увеличения);

- использовать весовую функцию (окно) для уменьшения эффекта растекания спектра при вычислении оценки СПМ с помощью ДПФ, за счет чего достигается сглаживание оценки СПМ.

Оценка СПМ по методу Блэкмана—Тьюки случайной последовательности x(n) длины N определяется по формуле:

где — оценка АКФ — четная функция длины L1=2N1-1 , центрированная относительно m = 0 ; — весовая функция (окно) длины L1=2N1-1 , центрированная относительно m = 0 .

Смещенная оценка АКФ вычисляется по формуле:

а несмещенная — по формуле:

Cмещенная оценка АКФ гарантирует неотрицательность оценки СПМ, в то время как использование несмещенной оценки АКФ может привести к отрицательной оценке СПМ, что противоречит физическому смыслу СПМ, которая является неотрицательной. Кроме того, при N1<<N в смещенной оценке АКФ смещение незначительно.

Другой причиной получения отрицательной оценки СПМ (16.20) может стать неудачный выбор окна w(m) , в том случае если его Фурье-изображение имеет отрицательные значения. В частности, это возможно (но не обязательно) для окон Дирихле (прямоугольного), Хэмминга, Хэннинга, Кайзера, в отличие, например, от окна Бартлетта. При быстро затухающей оценке АКФ оценка СПМ Блэкмана—Тьюки является асимптотически несмещенной и состоятельной.

Достоинства: Вычислительная эффективность. Метод основан на использовании алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). Оценка СПМ прямо пропорциональна мощности синусоидальных процессов

Недостатки: Подавление главных лепестков слабых сигналов боковыми лепестками сильных сигналов. Частотное разрешение ограничено длиной имеющейся записи анализируемых данных и не зависит от характеристик этих данных и их отношения сигнал/шум. Искажение спектра из-за просачивания энергии боковых лепестков. Необходимость псевдоусреднения по ансамблю для получения статистически состоятельных оценок спектров периодограмм. Появление отрицательных значений СПМ при использовании метода в случае, когда применяются некоторые автокорреляционные оценки последовательностей.

Спектрограмма

Спектрограммой (spectrogram) сигнала называется его мгновенный спектр, зависящий от времени. Для вычисления спектрограммы вектор сигнала разбивается на фрагменты (возможно, с перекрытием). Для каждого фрагмента вычисляется спектр с помощью функции fft. Набор спектров всех фрагментов и образует спектрограмму.

Цель построения: Спектрограмма строится для наблюдения мгновенного спектра, зависящего от времени. Само значение СПМ отображается цветом (по шкале: сверху максимальное значения СПМ, снизу минимальное)