24. Метод периодограмм. Метод периодограмм Даньелла.
Метод периодограмм
Периодограмма (periodogram) — называется оценка спектральной плотности мощности, полученная по N отсчетам одной реализации случайного процесса согласно определению (естественно, не путем взятия предела, а усреднением конечного числа слагаемых). Таким образом, периодограмма рассчитывается по следующей формуле:
Деление
на частоту дискретизации fд
необходимо для получения оценки
спектральной плотности мощности
аналогового случайного процесса,
восстановленного по отсчетам x(k) (ведь
в формуле связывающей спектры аналогового
и дискретизированного сигналов:
имеется множитель 1/T=fд).
Периодограмма
является неотрицательной четной
периодической функцией частоты с
периодом
,
для вещественных последовательностей
x(n) — симметричной относительно частоты
в
основной полосе частот [0;ωд].
Для
уменьшения эффекта растекания спектра
при вычислении периодограммы с помощью
ДПФ и, как следствие, сглаживания
периодограммы применяют весовые функции
(окна), и видоизмененная периодограмма,
называемая модифицированной периодограммой
,
принимает вид:
где
— весовая функция (окно) длины N ;
—
спектральная плотность произведения
:
Достоинства: высокая разрешающая способность среди классических методов
Недостатки: Не является состоятельной оценкой спектральной плотности мощности. Дисперсия такой оценки сравнима с квадратом её математического ожидания.
С ростом числа используемых отсчётов значения периодограммы начинают всё быстрее колебаться. Не обеспечивает усреднения, необходимого для анализа шумоподобных сигналов или даже синусоид при низком отношении сигнал/шум
Метод периодограмм Даниэлла
В
методе периодограмм Даньелла сглаживание
периодограммы (16.2) достигается за счет
ее усреднения по соседним (2K+1) частотам,
симметрично расположенным относительно
текущей частоты
.
Периодограмма
Даньелла вычисляется на основе исходной
периодограммы
по формуле:
где N — длина (количество отсчетов) исходной периодограммы , совпадающая с длиной исходной последовательности; ωk — значения частот для усреднения периодограммы (16.2); их количество для каждого значения i равно (2K+1) . Согласно, периодограмма Даньелла имеет длину (N-2K) . Для вычисления периодограммы Даньелла длины N следует исходную периодограмму дополнить K отсчетами в начале и в конце с учетом ее периодичности. Оценка СПМ является асимптотически несмещенной. За счет операции усреднения по соседним частотам периодограмма Даньелла будет менее осциллирующей (изрезанной), чем периодограмма.
Достоинства: Асимптотически несмещённая оценка спектральной плотности мощности (СПМ).Менее осциллирующая, чем исходная Фурье-периодограмма (за счёт усреднения по соседним частотам).
Недостатки: Ухудшение частотного разрешения (возможность различения двух близко расположенных частот гармоник) при увеличении степени сглаживания (длины окна). Таким образом, при использовании метода необходимо искать компромисс между уменьшением изрезанности оценки СПМ и ухудшением частотного разрешения. В методе периодограмм Даньелла сглаживание исходной (немодифицированной) периодограммы достигается за счёт её усреднения по соседним частотам.
Еще немного инфы про Даниэлла
При вычислении периодограммы по длинному фрагменту случайного сигнала она оказывается весьма изрезанной. Для уменьшения этой изрезанности необходимо применить какое-либо усреднение. Даньелл (Daniell) предложил сглаживать быстрые флуктуации выборочного спектра путем усреднения по соседним частотам спектра. Данный метод, называемый периодограммой Даньелла, сводится к вычислению свертки периодограммы со сглаживающей функцией.
