22. Алгоритм моделирования случайного процесса с требуемой акф.

Моделирование случайной последовательности с заданной (требуемой) АКФ на основе нормального белого шума с математическим ожиданием = 0 и дисперсией =1.

СПМ такого шума равномерна в бесконечной полосе частот и равна (без учета множителя 1/fд ):

а АКФ равна:

где u0(m) — цифровой единичный импульс, N0/2 — средняя мощность шума:

При длине шума N → ∞ его средняя мощность равна

Моделирование случайной последовательности с требуемой АКФ базируется на паре известных соотношений вход/выход ЛДС для СПМ и АКФ:

где символ "*" соответствует операции свертки. Для нормального белого шума эти соотношения принимают вид:

(1 и 2)

АЛГОРИТМ МОДЕЛИРОВАНИЯ:

1. Моделирование нормального белого шума длины N и вычисление константы N0/2.

2. Моделирование требуемой АКФ Ry(m) длины L=2N-1 и формирование ее периода для вычисления СПМ с помощью ДПФ:

3. Вычисление СПМ Sy(k) в (1) по формуле ДПФ для АКФ Ry(m) с помощью БПФ:

4. Вычисление АЧХ КИХ-фильтра |H(k)| , k = 0, 1, ... , L-1, на основе (1).

5. Вычисление ЛФЧХ КИХ-фильтра 1-го типа:

где R — четный порядок КИХ-фильтра, а R+1 — длина ИХ, симметричной относительно R/2.

Согласно (2), АКФ ИХ копирует требуемую АКФ (с точностью до множителя) при одинаковой длине L . При быстро затухающей требуемой АКФ, что имеет место на практике, длину ИХ можно существенно сократить, задавая четный порядок R равным удвоенной длине требуемой АКФ от ее центрального отсчета до ближайшего нуля.

6. Вычисление частотной характеристики КИХ-фильтра:

Уга буга

7. Вычисление ИХ КИХ-фильтра на периоде L круговой свертки по формуле ОДПФ для H(k) с помощью ОБПФ.

8. Вычисление реакции КИХ-фильтра с ИХ длины (R+1) на воздействие в виде нормального белого шума длины N по формулам ДПФ и ОДПФ с помощью БПФ и ОБПФ.

23. Основные методы спектрального анализа. Основные показатели качества оценок спм.

Спектральный анализ предназначен для оценивания спектральной плотности мощности случайного процесса. В большинстве практических приложений вводится допущение о стационарности и эргодичности случайного процесса, и далее это принято по умолчанию.

СПМ эргодического случайного процесса определена как :

Где соотношение (второе) известно как теорема Винера-Хинчина.

При конечной длине N эргодического случайного процесса x(n) говорят об оценке СПМ, которая дает картину распределения средней мощности по частоте и измеряется в ваттах на герц или в децибелах на герц.

По определению СПМ - неотрицательная, четная, периодическая функция частоты с периодом, равным , и эти свойства сохраняются для ее оценки.

Далее термины “Эргодический случайный процесс и последовательность ” , будем считать тождественными если смысл ясен из контекста.

Методы спектрального анализа:

• Непараметрические

• Параметрические

Основные показатели качества оценок СПМ

— Несмещенность/смещенность оценки СПМ.

Смещением β некоторого параметра α называют разность между истинным значением данного параметра и математическим ожиданием его оценки

Где — оператор математического ожидания.

С учетом равенства имеем (0)

Оценку параметра называют несмещенной, если при усреднении по ансамблю реализаций с возрастанием их числа смещение β стремится к нулю.

Для эргодического случайного процесса длины N смещение β оценки СПМ равно математическому ожиданию разности между истинной СПМ S(ω) и ее оценкой :

Оценку СПМ называют несмещенной, если смещение β=0 , и асимптотически несмещенной, если при длине N→∞ смещение β (скаляр) стремится к нулю:

— Состоятельность/несостоятельность оценки СПМ.

Оценку параметра называют состоятельной, если при усреднении по ансамблю реализаций с возрастанием их числа математическое ожидание квадрата отклонения истинного значения параметра α от его оценки стремится к нулю:

Для эргодического случайного процесса длины N оценку СПМ называют состоятельной, если с увеличением длины N математическое ожидание квадрата отклонения истинной СПМ S(ω) от ее оценки (скаляр) стремится к нулю:

(1)

Где — оператор дисперсии.

Убедимся в равенстве левой и правой частей (1), используя краткие обозначения:

Согласно свойству линейности оператора , в левой части имеем:

Согласно свойству оператора :

и равенству β (0), справа в (1) имеем тождественный результат:

Из следует, что смещенная оценка СПМ свидетельствует о ее несостоятельности, а при несмещенной оценке СПМ ее состоятельность определяется стремлением дисперсии оценки СПМ к нулю с увеличением длины эргодического случайного процесса. Следствием несостоятельности оценки СПМ является эффект изрезанности периодограммы, усиливающийся с увеличением длины последовательности x(n) .

Признаком улучшения качества оценки СПМ является ослабление данного эффекта с увеличением длины последовательности x(n). Теоретический анализ приведенных показателей качества для различных оценок СПМ весьма непрост и выходит за рамки данной книги, поэтому далее будут приведены лишь известные результаты.

Оценки СПМ ( ) и ( ) являются асимптотически несмещенными, но при этом несостоятельными, вследствие чего периодограммы оказываются сильно осциллирующими (изрезанными) и с увеличением длины последовательности этот эффект усиливается. Для сглаживания периодограммы применяют то или иное ее усреднение, реализованное в периодограммах Даньелла, Бартлетта и Уэлча.

— Добротность оценки СПМ

Добротность оценки СПМ — отношение квадрата ее математического ожидания (среднего значения) к дисперсии :

Несмещенная оценка дисперсии вычисляется по формуле:

Где - значения частот в N равноотстоящих точках на периоде СПМ; — среднее значение оценки СПМ:

Добротность характеризует отношение квадрата постоянной составляющей оценки СПМ к среднему квадрату амплитуд осцилляций, поэтому чем больше добротность, тем выше качество оценки СПМ.

— Среднеквадратическое (стандартное) отклонение СКО

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение СКО оценки СПМ

которое совпадает с размерностью оценки СПМ и характеризует интенсивность (усредненную амплитуду) ее осцилляций, поэтому чем меньше СКО, тем выше качество оценки СПМ.