Лабораторная работа №4

Содержание

2

Введение

Цель работы – освоить вычислительные методы нахождения определенного интеграла и исследовать точность вычислений при разном числе разбиений; освоить и изучить точность методов численного дифференцирования; изучить методы группы Рунге-Кутта для численного решения дифференциального уравнения первого порядка (задачи Коши).

3

ХОД РАБОТЫ

1.1Численное интегрирование

Втестовом вопросе № 1 дан определенный интеграл. Необходимо составить программу, вычисляющую его значения следующими методами:

методом левых прямоугольников;

методом правых прямоугольников;

методом трапеций;

методом Симпсона.

Задать числа разбиений следующие: 6, 40, 120, 400. Число разбиений

не должно увеличиваться в процессе вычисления интеграла – то есть перед применением формулы нужно вычислить узлы, и далее работать только с ними, без пересчета.

Рисунок 1.1 – Определенный интеграл

1.2 Метод левого прямоугольника

Для решения данного метода применяется формула метода левых прямоугольников, изображенная на рисунке 1.2, где h – шаг сетки (рисунок

1.3).

Рисунок 1.2 – Формула метода левых прямоугольников

4

Рисунок 1.3 – Вычисление шага сетки

Ниже представлен листинг метода (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 – Код программы

1.3 Метод правого прямоугольника

Для решения данного метода применяется формула метода правых прямоугольников, изображенная на рисунке 1.5. По сути, это идентичная формула с методом левого прямоугольника, только за место i=0 будет i=1 и

из n не будет вычитаться единица.

Рисунок 1.5 – Формула метода левых прямоугольников

Такие же незначительные изменения были и в самом коде (рисунок

1.6).

5

Рисунок 1.6 – Код программы

1.4 Метод трапеций

Для решения данного метода применяется формула метода трапеций,

изображенная на рисунке 1.7.

Рисунок 1.7 – Формула метода трапеций

Код метода представлен на изображении ниже (рисунок 1.8).

Рисунок 1.8 – Код программы

6

1.5 Метод Симпсона

Для решения данного метода применяется формула метода Симпсона,

изображенная на рисунке 1.9.

Рисунок 1.9 – Формула метода Симпсона

Код метода представлен на изображении ниже (рисунок 1.10).

Рисунок 1.10 – Код программы

Результат работы программы всех методов представлен ниже (рисунок

1.11).

Рисунок 1.11 – Работа программы

7

Таблица 1 – Результаты программы

2. Численное дифференцирование

Нужно составить программу, вычисляющую производную функции в любой точке с помощью левой, правой и центральной разностной производных при расстоянии между точками = 0.1.

В тестовом вопросе № 2 дана индивидуальная функция и точка, в которой нужно вычислить точное значение производной аналитически и приблизительное значение с помощью разработанной программы.

Рисунок 2.1 - Функция

2.1 Левая и правая разностные производные

Для вычисления производной функции в любой точке используется левая разностная производная (рисунок 2.2) и правая разностная производная (рисунок 2.3).

Рисунок 2.2 – Формула левой разностной производной

8

Рисунок 2.3 – Формула правой разностной производной Код разностей производной представлен на изображении ниже

(рисунок 2.4).

\

Рисунок 2.4 – Код программы

2.2 Центральная разностная производная

Для вычисления производной функции в любой точке также используется центральная разностная производная (рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Формула центральной разностной производной Код центральной разностной производной представлен на изображении

ниже (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Код программы На рисунке 2.7 изображен результат работы программы.

9

Рисунок 2.7 – Результат программы

Таблица 2 – Сравнение полученных значений

3 Численное решение дифференциального уравнения (задача Коши)

Дана задача Коши вида: ′ = ( , ), ( 0) = 0 и последовательность точек , = 0, … 20, c шагом = 0.1: = {0, 0.1,0. 2… ,2}.

Нужно составить программу, с помощью следующих методов определяющую последовательность точек

1( ), = 1… ,20 – методом Эйлера (Рунге-Кутта 1-го порядка)

2( ), = 1… ,20 – методом Рунге-Кутта 2-го порядка

4( ), = 1… ,20 – методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

Для данной в тестовом вопросе № 3 задачи Коши необходимо найти:

численное решение с помощью разработанной программы всеми тремя способами (последовательности 1( ), 2( ), 4( ), = 1, … ,20)

точное решение любым способом в виде функции ( ).

Рисунок 3.1 – Дифференциальное уравнение

10