Лабораторная работа №3
.pdfМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра комплексной информационной безопасности электронно-
вычислительных систем (КИБЭВС)
«Интерполяция и аппроксимация функции в табличном и аналитическом виде»
Отчет по лабораторной работе №3
по дисциплине «Численные методы»
Студент гр. 723-1
_________Лысенко Е.М.
__________
Принял
Ст. преподаватель
кафедры КИБЭВС
________ Катаева Е.С.
__________
Томск 2024
Содержание
Введение................................................................................................................... |
3 |
|
ХОД РАБОТЫ ......................................................................................................... |
4 |
|
1 |
Предварительный анализ данных.................................................................... |
4 |
2 |
Построение интерполяционного полинома Лагранжа .................................. |
9 |
3 |
Построение аппроксимирующей квадратной функции с помощью метода |
|
наименьших квадратов ...................................................................................... |
11 |
|
4 |
Анализ результатов......................................................................................... |
15 |
Заключение ............................................................................................................ |
18 |
|
Приложение А ....................................................................................................... |
19 |
|
Приложение Б ........................................................................................................ |
20 |
|
2
Введение
Целью работы является построение квадратного интерполяционного полинома Лагранжа для последовательности точек и для функции в аналитическом виде, аппроксимирующей квадратной функции для последовательности точек и для функции в аналитическом виде,
прогнозирование значения функции с помощью интерполирующей и аппроксимирующей функции и вычисление промежуточной точки с помощью интерполирующей и аппроксимирующей функции.
3
ХОД РАБОТЫ
1 Предварительный анализ данных
Был построен график по таблице значений из индивидуального задания. Таблица значений представлена в таблице 1.1. График представлен на рисунке 1.1.
Рисунок 1.1 – График
Таблица 1.1 – Последовательность точек
x |
y |
0.0 |
11.90124284 |
|
|
0.2 |
7.780225365 |
|
|
0.4 |
8.133003501 |
|
|
0.6 |
14.86422968 |
|
|
0.8 |
14.8352434 |
|
|
1.0 |
15.76667923 |
|
|
1.2 |
21.84483672 |
|
|
1.4 |
31.05177674 |
|
|
1.6 |
34.39567422 |
|
|
4
Продолжение таблицы 1.1
x |
y |
|
|
1.8 |
40.52077947 |
|
|
2.0 |
49.24113267 |
|
|
2.2 |
56.22344744 |
|
|
2.4 |
56.67521648 |
|
|
2.6 |
74.42459163 |
|
|
2.8 |
82.22353567 |
|
|
Были построены графики для функций y=arccos(0,2x)+0,426 и y=sin(12,84x+5,13), графики представлены на рисунке 1.2 и рисунке 1.3
соответственно.
Рисунок 1.2 – График y=arccos(0,2x)+0,426
5
Рисунок 1.3 – График y=sin(12,84x+5,13)
Для функций y=arccos(0,2x)+0,426 и y=sin(12,84x+5,13) были рассчитаны значения yi для х {0, 0.2, 0.4, …, 2.8}. Последовательности точек представлены в таблице 1.2 и таблице 1.3 соответственно.
Таблица 1.2 – Последовательность точек для y=arccos(0,2x)+0,426.
x |
y |
0.0 |
1.9968 |
|
|
0.2 |
1.95679 |
|
|
0.4 |
1.91671 |
|
|
0.6 |
1.87651 |
|
|
0.8 |
1.83611 |
|
|
1.0 |
1.79544 |
|
|
6
Продолжение таблицы 1.2
x |
Y |
|
|
1.2 |
1.75443 |
|
|
1.4 |
1.713 |
|
|
1.6 |
1.67107 |
|
|
1.8 |
1.62853 |
|
|
2.0 |
1.58528 |
|
|
2.2 |
1.5412 |
|
|
2.4 |
1.49614 |
|
|
2.6 |
1.44995 |
|
|
2.8 |
1.40241 |
|
|
Таблица 1.3 – Последовательность точек для y=sin(12,84x+5,13).
x |
y |
0.0 |
-0.91406 |
|
|
0.2 |
0.98786 |
|
|
0.4 |
-0.745458 |
|
|
0.6 |
0.264446 |
|
|
0.8 |
0.301212 |
|
|
1.0 |
-0.770456 |
|
|
1.2 |
0.993087 |
|
|
1.4 |
-0.897845 |
|
|
1.6 |
0.515215 |
|
|
1.8 |
0.0323282 |
|
|
2.0 |
-0.569524 |
|
|
2.2 |
0.924423 |
|
|
2.4 |
-0.983427 |
|
|
2.6 |
0.727649 |
|
|
2.8 |
-0.238961 |
|
|
Для последовательностей приведенных выше были построены графики,
представленные на рисунке 1.4 и рисунке 1.5 соответственно.
7
Рисунок 1.4 – График точек для y=arccos(0,2x)+0,426
Рисунок 1.4 – График точек для y=sin(12,84x+5,13)
Графики функций по заданным точкам совпадают с непрерывными графиками функций, следовательно, узловые точки заданы достаточно часто для качественного дальнейшего анализа.
8
2 Построение интерполяционного полинома Лагранжа
Для построения интерполяционного полинома Лагранжа было реализовано программное решение, представленное в приложении А.
В основе программы лежит формула квадратичного полинома Лагранжа (1.1):
(1.1)
Для искомой точки x выбираются узлы соответствующие условиям:
{
Если х > xmax, то берутся последние три известные точки. Если x<xmin,
то берутся первые три известные точки.
На рисунке 1.6 представлен результат работы программы для первой последовательности точек.
Рисунок 1.6 – Результат
9
На рисунке 1.7 представлен результат работы программы для второй последовательности точек.
Рисунок 1.7 – Результат
На рисунке 1.8 представлен результат работы программы для третьей последовательности точек.
Рисунок 1.8 – Результат
10