Лабораторная работа №1

Задание

С помощью разработанной на лабораторном занятии программы решить систему уравнений:

−16,7x1−9,78x2−3,07x3=−1,73

−9,12x1−15,22x2−5,4x3=6,27

−3,07x1+7,69x2−11,1x3=1,75

В качестве ответа указать вторую компоненту вектора X с точностью до двух знаков после запятой.

С помощью разработанной на лабораторном занятии программы решить уравнение:

0,36X2+0,52X+0,11=0

В качестве ответа указать любой найденный корень с точностью до двух знаков после запятой.

2

Содержание

3

Введение

Целью лабораторной работы является освоение методов решения

систем линейных алгебраических уравнений и решения нелинейных

уравнений с одной переменной.

4

ХОД РАБОТЫ

1 Решение СЛАУ

1.1 Пример системы уравнений

Перед решением своего варианта программы нужно протестировать пример.

Для тестирования использовать систему уравнений, изображенная на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 – Пример системы

Из каждого уравнения были выражены x1, x2, x3:

x1= (–2x2 – 3x3 + 105) / 100;

x2 = (–x1– 3x3 + 104) / 100;

x3 = (–x1 – 2x2 + 103) / 100.

На рисунке 1.2 представлена работа программы для тестировочной системы уравнений.

5

Рисунок 1.2 – Работа программы тестировочной системы

1.2 Индивидуальная система уравнений

На рисунке 1.3 представлена индивидуальная система уравнений.

Рисунок 1.3 – Система уравнений

Из каждого уравнения были выражены х1, х2, х3: x1= (–9,78x2 – 3,07x3 + 1,73) / 16,7;

x2 = (–9,12x1 – 5,4x3 – 6,27) / 15,22;

x3 = (–3,07x1 + 7,69x2 –1,75) / 11,1.

На рисунке 1.4 представлена работа программы для индивидуальной системы уравнений.

6

Рисунок 1.4 – Работа программы индивидуальной системы

Таблица 1 – Результаты решения тестировочной системы и индивидуальной системы.

2 Решение нелинейного уравнения

2.1 Отделение корня

Рассмотрим функцию F(х) = 0,36x2 + 0,52x + 0,11 и ее производную

F’(x) = 0,72x + 0,52. Найдем точки перегиба, то есть точки, где производная функции F’(x) = 0. Точка перегиба x = -0,72.

Для x < -0,72 значение производной отрицательно, а для x > -0,72

значение производной положительно. Значит, функция монотонно возрастает в интервале (-∞, -1,48) и монотонно убывает в интервале (-1,48, +∞). Таким

7

образом, отрезок [-∞, -1,48] является отрезком, на котором функция монотонна и имеет ровно один корень. График функции изображен на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – График индивидуальной функции

2.2Нахождение корня методом Ньютона

Вданном методе сначала приводят касательную к функции в отрезке,

выбранном пользователем, затем находится точка пересечения касательной с осью ОХ и эта точка будет первым приближением для искомого корня. Затем каждому последующему Х присваивается разница между Х на предыдущей итерации и делением функции от предыдущего Х на первую производную.

Условие остановки определяется значением функции от Х на текущей итерации, если оно меньше Е, которое равно 0,01.

На рисунке 2.2 представлено решение методом Ньютона тестированного уравнения, а на рисунке 2.3 решение тем же методом, только для индивидуальной функции.

8

Рисунок 2.2 – Решение тестировочного уравнения

Рисунок 2.3 – Решение индивидуального уравнения

2.3Нахождение корня методом простых итераций

Вданном методе Х присваивается сумма Х, на предыдущей итерации,

ипроизведения функции Х, на предыдущей итерации и L, которое ровно -2 деленому на первую производную от функции, Х на прошлой итерации. Программа останавливается, тогда, когда модуль разности Х будет меньше заданной точности.

На рисунке 2.4 представлено решение тестировочного уравнения с помощью метода простых итераций, на рисунке 2.5 решение тем же методом, только для индивидуальной функции.

Рисунок 2.4 – Решение тестировочного уравнения

Рисунок 2.5 – Решение индивидуального уравнения

9

Таблица 2 – Результаты по тестировочному уравнению

Таблица 3 – Результаты по индивидуальному уравнению

10