ОКР Моделирование

10. Классификация математических моделей относительно уровней, отображаемых свойств обьекта, способу представления свойств обьекта, способу получения модели

Классификация по иерархическому уровню

Модели микроуровня: описывают физические процессы на уровне перехода, используя сложные математические описания, такие как дифференциальные уравнения в частных производных. Примеры фазовых переменных: электрические напряжения, токи, температуры, поля напряжений.

Модели макроуровня: описывают технологические процессы, работающие в непрерывном времени, но в дискретном пространстве (например, моделирование радиоэлектронных схем, состоящих из дискретных компонентов — транзисторов, диодов).

Модели метауровня: представляют собой модели сложных систем (цехов, предприятий) с меньшей детализацией, отражая взаимодействие элементов системы. На этом уровне применяют методы теории массового обслуживания и автоматического управления.

Классификация по характеру отображаемых свойств объекта

Структурные модели: представляют объект как структуру данных и взаимосвязей между ними. Они могут быть:

o Иерархические (древовидные) — представленные в виде дерева. o Сетевые — представленные сетевой структурой.

Функциональные модели: описывают объект через систему

функциональных зависимостей, например, модели физических законов или производства.

Классификация по способу представления свойств объекта

Аналитические модели: имеют явное математическое выражение, определяющее выходные параметры как функции от входных и внутренних параметров.

Численные модели: решаются при конкретных начальных условиях, такие как дифференциальные и интегральные уравнения.

Алгоритмические модели: описаны алгоритмами, что позволяет реализовать или исследовать модели алгоритмическими методами.

Имитационные модели: предназначены для испытаний, варьируя параметры для изучения поведения объекта.

Классификация по способу получения модели

Теоретические модели: создаются на основе теоретических исследований, но зачастую сложно применимы на практике из-за громоздкости.

Эмпирические модели: получены путем экспериментов и изучения внешних проявлений объекта с помощью статистической обработки данных.

11. Классификация математических моделей относительно формы представления объекта, вероятностных компонентов, степени устойчивости, внешних факторов

Классификация по форме представления свойств объекта

Логические модели: представляют объект через логические функции. Примером может служить математическая модель одноразрядного сумматора, описанная совокупностью логических функций.

Теоретико-множественные модели: используют множества и отношения принадлежности. Эти модели описывают объект, опираясь на теорию множеств, где свойства объекта представлены как элементы множеств с соответствующими отношениями.

Графовые модели: представляют объект через графы, отражая связи и взаимодействия элементов системы. Графовые модели позволяют визуализировать структуру и поведение объекта, что удобно для описания сложных систем с множеством взаимосвязей.

Классификация по содержанию вероятностных компонентов

Детерминированные модели: не содержат вероятностных

(стохастических) компонентов. Все параметры и процессы в этих моделях описываются однозначно и предсказуемо. Такой подход подходит для систем, где можно полностью контролировать условия и результаты.

Стохастические модели: содержат вероятностные компоненты и описывают системы с одной или несколькими случайными входными величинами. Стохастические модели применяются для систем, подверженных неопределённости, где исход может зависеть от случайных факторов.

Классификация по степени устойчивости

Устойчивые модели: описывают системы, которые стремятся вернуться к исходному состоянию после вывода из него. Такая система может некоторое время колебаться около исходной точки, как маятник, но с течением времени колебания затухают. Устойчивость важна для анализа систем, способных самокорректироваться при небольших возмущениях.

Неустойчивые модели: представляют системы, в которых малейшее возмущение усиливается, приводя к росту значений переменных или к колебаниям с возрастающей амплитудой. Эти модели применимы к системам, для которых любое внешнее воздействие приводит к значительным изменениям состояния.

Классификация по отношению к внешним факторам

Замкнутые модели: функционируют независимо от внешних переменных. Изменения значений переменных во времени определяются исключительно внутренними взаимодействиями элементов системы. Такие модели могут описывать системы с обратной связью, где характеристики системы определяются её внутренней структурой и не зависят от внешней информации.

Открытые модели: учитывают взаимодействие с внешними переменными, отражая влияние внешней среды на систему. Открытые модели важны для описания объектов, которые не могут быть полностью изолированы от окружающей среды, и их поведение зависит от внешних факторов.

Лингвистический (символический) — описывает систему через слова и символы для начального понимания.

Теоретико-множественный — рассматривает систему как множество элементов и связей между ними.

Абстрактно-логический — описывает основные логические связи между элементами системы.

Логико-математический — использует математические уравнения для точного описания системы.

Теоретико-информационный — анализирует передачу и обработку информации внутри системы.

Динамический — описывает изменения системы во времени и её реакцию на внешние воздействия.

Эвристический — использует приближенные методы для описания сложных систем, где точные модели невозможны.

Кибернетический подход и «черный ящик»

Когда внутренняя структура системы неизвестна, используют кибернетический подход, рассматривая объект как «черный ящик», анализируя его отклики на внешние воздействия, что позволяет описывать поведение системы, даже не зная внутренние связи.

Системный анализ

Системный анализ — метод исследования состава и структуры объекта, основанный на принципах физичности, моделируемости и целенаправленности. Он включает:

Топологическое описание — общая структура системы;

Функциональное описание — отображение функций, направленных на достижение цели.

Классический и системный подходы

Классический подход: предполагает индуктивное построение модели путем суммирования независимых компонентов. Подходит для простых объектов, где можно рассмотреть аспекты отдельно.

Системный подход: интегрирует компоненты на основе анализа внешней среды,

целей и требований. Он учитывает системный эффект, возникающий при взаимодействии всех частей.

Системный подход позволяет моделировать сложные объекты, отображая их иерархию, структуру и взаимодействие с внешней средой, что делает возможным построение комплексных моделей.

13. Процессы синтеза модели. Принципы системного подхода

Синтез модели представляет собой процесс создания модели объекта, включающей его ключевые элементы, функции и связи. Системный подход здесь играет основополагающую роль, позволяя создать целостную и эффективную модель для исследования сложных систем.

Процессы синтеза модели

1.Классический подход к синтезу модели Классический (индуктивный) подход используется для создания сравнительно простых моделей, где возможно разделение функций модели и изолированное рассмотрение её компонентов.

oЭтап разбиения на подсистемы: Объект, подлежащий моделированию, разбивается на отдельные подсистемы или компоненты, каждая из которых имеет свои данные и цели для моделирования. Этот процесс позволяет строить

модель на основе отдельных частей, каждая из которых решает свои задачи.

oСуммирование компонентов: Подход основан на объединении отдельных компонентов в общую модель (М). Так как каждая из частей создается независимо, общая модель формируется как совокупность всех элементов, что облегчает анализ и проектирование простых систем.

oОсобенности применения: Классический подход подходит для простых моделей, так как его главный недостаток — отсутствие учета системного эффекта и взаимовлияния между компонентами. Этот подход становится малоэффективным при создании сложных моделей, так как требует больших ресурсов и не позволяет учесть все взаимодействия между компонентами системы.

2.Системный подход к синтезу модели Системный подход предназначен для комплексного анализа и создания сложных моделей, требующих учета всех внутренних и внешних взаимодействий.

oЦелостный подход к анализу: В отличие от классического подхода, системный подход подразумевает анализ системы в её целостности. Исходные данные, ограничения и цель функционирования системы определяются на основе её связи с внешней средой, что помогает учесть все важные аспекты.

oЭтапы синтеза модели:

Формулирование начальных требований: На основе анализа внешней среды, целей и ограничений формируются начальные требования к модели, что задает основу для выделения необходимых подсистем и элементов.

Выбор подсистем и элементов: Компоненты модели отбираются на основе критериев, которые определяют их важность для целостной системы, обеспечивая взаимодействие и системный эффект.

oИнтеграция компонентов: В отличие от классического подхода, где каждый компонент является изолированным, системный подход интегрирует все компоненты для взаимодействия, что позволяет учитывать взаимное влияние подсистем и получить целостные результаты, отражающие поведение системы.

Принципы системного подхода в синтезе модели

Принципы системного подхода обеспечивают структурированность и последовательность на каждом этапе создания модели, а также позволяют исследовать систему в её целостности.

8.Принцип целостности: свойства системы не сводятся к сумме свойств её отдельных элементов, что подчёркивает важность структурных связей, определяющих основные характеристики системы.

oСтруктура системы — совокупность внутренних устойчивых связей между элементами, которые могут быть представлены графически или с помощью математических формул.

9.Принцип эмерджентности: объединение элементов приводит к появлению новых системных свойств, отсутствующих у отдельных элементов, что делает систему качественно иной, нежели простая совокупность её частей.

10.Принцип физичности: поведение системы описывается законами, применимыми к данной системе, будь то физические, экономические, психологические или другие.

11.Принцип моделируемости: система должна поддаваться моделированию, и для неё можно создавать несколько моделей, каждая из которых отражает её различные аспекты.

12.Принцип целенаправленности: система функционирует для достижения определённого состояния или цели и обладает способностью противостоять внешним воздействиям.

13.Принцип выделения основной структуры — при изучении сложного объекта основное внимание уделяется ключевым элементам и связям, упрощая анализ и понимание системы. При этом менее значимые детали можно откинуть, чтобы сосредоточиться на главных закономерностях.

14.Принцип замкнутости — для адекватного моделирования важно учитывать взаимодействия системы с внешней средой, которые влияют на её поведение. В противном случае анализ только внутренних связей может быть недостаточен для создания полной модели.

15.Принцип иерархичности — сложные системы состоят из нескольких уровней подсистем, где каждая подсистема может делиться на еще более мелкие части. Такое многоуровневое описание помогает структурировать и понимать взаимосвязи на различных уровнях сложности.

14. Качественные и количественные модели

Наука стремится создать теоретические модели, которые объясняют известные и предсказывают новые явления. Эти модели бывают качественными и количественными, каждая из которых по-разному отражает реальность.

Цель создания теоретической модели

Задача науки — построение теоретической модели, объясняющей известные явления и предсказывающей новые. Такие модели могут быть

качественными или количественными.

Качественные модели

Описание: Качественная модель отражает основные принципы явления без использования числовых параметров. Она позволяет получить общее представление о поведении системы и помогает понять ключевые закономерности на начальном этапе исследования.

Пример: В контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивности, заряженный конденсатор начинает разряжаться, ток проходит через катушку, и энергия электрического поля переходит в магнитное поле. Когда конденсатор полностью разрядился, ток достигает максимума, и катушка начинает заряжать конденсатор в обратном направлении, повторяя цикл. Эта модель позволяет предсказать, что уменьшение емкости увеличит частоту колебаний.

Переход к количественным моделям

Необходимость математических абстракций: Для точного описания явлений требуются числовые значения и математические методы. Разработка системы координат и методов измерения позволила оперировать числовыми значениями, что привело к созданию сложных математических моделей, включающих алгебраические и дифференциальные уравнения.

Количественные модели

Описание: Количественные модели используют точные численные значения для выполнения измерений и проведения расчетов, что позволяет точно предсказать поведение системы.

Пример: В количественной модели электромагнитных колебаний в RLCцепи вводятся измеримые величины, такие как сила тока, заряд, напряжение, ёмкость, индуктивность и сопротивление. Это позволяет

записать систему уравнений (например, дифференциальное уравнение второго порядка) для расчета состояния цепи в любой момент времени.

Процесс создания количественной модели

Определение параметров и переменных: Выделяются величины,

описывающие состояние объекта, такие как заряд и ток для электрической цепи или денежные показатели для экономической системы.

Формулирование уравнений: Определяется система алгебраических или дифференциальных уравнений, отражающая связи между переменными.

Решение уравнений: Аналитические методы приводят к функциональной связи, нуждающейся в интерпретации; численные методы решаются с помощью компьютера, создавая графические и табличные данные.

Факторы, влияющие на поведение системы

Параметры объекта: Например, RLC-цепь характеризуется сопротивлением резистора, емкостью конденсатора и индуктивностью катушки.

Внешнее воздействие: На процессы в электрической цепи влияет приложенное напряжение; для экономической системы — внешняя экономическая ситуация.

Начальное состояние: Определяет начальные условия для дальнейшего поведения объекта и его модели.

Методы исследования количественных моделей

Аналитическое решение: Приводит к уравнениям, выражающим функциональную связь между параметрами системы, внешним воздействием и временем, что требует анализа результатов.

Численное моделирование: Использует ЭВМ для создания программы, решающей уравнения и выводящей таблицы или графики, наглядно поясняющие суть процессов.