Добавил:

CyberTechWiz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Липецкий государственный технический университет

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

пособие мат логика Ткаченко Сысоев часть 2 09_12_2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.01.2025

Размер:

2.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Для каждой булевой функции существует равносильная, выраженная через функции любого из базисов.

Например, любую функцию можно выразить только через или только через | , и так далее.

Основные операции , , через остальные выражаются так:

1)x x | x x x ,

2)x y x | x | y | y ,

3)x y x | y | x | y ,

4)x y x y x y ,

5)x y x x y y ,

6)x y x y y x x y x ,

7)x y x y y x .

4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Производная первого порядка

от булевой функции f (x ,..., x

)

по пе-

ременной xi есть функция

f x , x

,..., x

,1,..., x

f x , x

,...x

,0,..., x

i 1

где

f x1, x2 ,..., xi 1,1,..., xn

единичная

остаточная

функция;

f x1, x2 ,..., xi 1,0,..., xn - нулевая остаточная функция.

П р и м е р .

Найдем производную функции: f x ~ y z.

1 ~ y z 0 ~ y z

y z

y z y z y z y z y z y z y z y z

y z y z y z y z 1

f	x ~ 1 z x ~ 0 z x ~ 1 x ~ z x x ~ z
y
f	x ~ y 1 x ~ y 0 x ~ 1 x ~ y x x ~ y
z
Производная первого порядка		f	от булевой функции f (x ,..., x		)	оп-
Производная первого порядка			от булевой функции f (x ,..., x	n	)	оп-
		xi	1	n
		xi

ределяет условие, при котором эта функция изменяет значение при изменении значения переменной xi и при неизменных других значениях переменных

f 1 .xi

				Таблица 16

x	y	z	f
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Таблица 17			Таблица 18			Таблица 19

y	z	f	x	z	f	x	Y	f
y	z	x	x	z	y	x	Y	z
		x			y			z

0	0	1	0	0	1	0	0	1
0	1	1	0	1	0	0	1	0
1	0	1	1	0	1	1	0	1
1	1	1	1	1	0	1	1	0

Смешанной производной		k	f	от булевой функции
Смешанной производной	xi	, xi	,..., xi	от булевой функции
	xi	, xi	,..., xi
	1	2	k
f (x1,..., xn ) по переменным xi1 ,..., xik называется функция:

k f

k 1

, x

,..., x

, x

,..., x

ik 1

Общей производной

k -го

порядка

k f

от

булевой

функции

,..., xi

f (x1,..., xn ) по переменным

xi ,..., xi

называется функция:

k f

2 f

3 f

k f

...

xi ,..., xi

i 1

i, j,

xi x j

i, j,s,

xi x j xs

xi xi ... xi

i j

i j, j s,i s

Общая

производная

k -го

порядка

k f

от

булевой

функции

,..., xi

f x1,..., xn по переменным xi1 ,..., xik

определяет условия,

при которых

эта

функция изменяет значение при одновременном изменении значений переменных xi1 ,..., xik и при одинаковых остальных значениях переменных.

П р и м е р . f x, y, z x y xyz.

Cмешанная производная:

f 1 y 0 y z 0 y 1 y z y yzx

			2 f				0 1 z 1 0 z z 1
			x y				0 1 z 1 0 z z 1
								3 f		1 1							0 1 1
										1 1							0 1 1
						x y z
						x y z
Общая производная 2-го порядка функции:
									2 f					f		f			2 f
								x, y						x		y			x y
												f
												f		y yz
												x
		f
		f			x0 x1z x1 x0z x xz
		y			x0 x1z x1 x0z x xz
												2 f			z 1
											x y				z 1
											x y
	2 f
	2 f	y		yz x xz z 1													y yz x xz z
	x, y	y		yz x xz z 1													y yz x xz z
Функция f меняет значение при одновременном переключении значе-
ний x, y в том случае, когда									2 f				1.
ний x, y в том случае, когда									x, y				1.
																					Таблица 20
			x						y					z				f		2 f
			x						y					z				f		x, y
																				x, y

		0					0							0			0			0
		0					0							1			0			0
		0					1							0			0			1
		0					1							1			1			0
		1					0							0			1			1
		1					0							1			1			0
		1					1							0			0			0
		1					1							1			0			0

		3 f			f				f			f					2 f		2 f				2 f	3 f
				x				y
	x, y, z			x				y				z				x y			x z			y z		x y z
					f
					f			x y xy1 x y xy0 xy
					z			x y xy1 x y xy0 xy
							2 f
							2 f			y y1 y y0 y
						x z				y y1 y y0 y
							2 f
							2 f				x x1 x x0 x
							y z				x x1 x x0 x
														3 f
																		1
													x y z					1
			3 f
					y yz x xz xy z 1 y x 1
		x, y, z			y yz x xz xy z 1 y x 1

			1 1 yz xz xy z yz xz xy z
Функция f меняет значение при одновременном переключении значе-
ний x, y, z в том случае, когда									3 f					1.
ний x, y, z в том случае, когда									x, y, z					1.
																								Таблица 21

			x					y				z						f			3 f
			x					y				z						f		x, y, z
																				x, y, z

			0					0				0			0				0
			0					0				1			0				0
			0					1				0			0				1
			0					1				1			1				0
			1					0				0			1				0
			1					0				1			1				1
			1					1				0			0				0
			1					1				1			0				0

5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Интегралом f (X )dxi называется множество функций {Fj (X , xi )}, ка-

ждая из которых после дифференцирования имеет вид f ( X ):

f (X )dxi {Fj (X , xi )}, X (x1, x2 , ..., xi 1, xi 1, ..., xn ) ,

Fj ( X , xi ) f ( X ) .xi

П р и м е р . Проинтегрировать выражение f (x1, x2 )dx3 ,

где f (x1, x2 ) x1 x2 .

Неопределенный интеграл {Fj (x1, x2 , x3 )} равен множеству первообраз-

ных, которые легко находятся с использованием одномерных таблиц на основании понятия производной (табл. 22).

																			Таблица 22

x1	x2			f (x1, x2 )					x3									Fj (x1, x2 , x3 )
0	0			0					0									0	1
0	0			0					1									0	1
									1									0	1
0	1			0					0									1	0
0	1			0					1									1	0
									1									1	0
1	0			0					0									0	1
1	0			0					1									0	1
									1									0	1
1	1			1					0									0	1
1	1			1					1									1	0
									1									1	0
Так как f (x1, x2 ) x1 x2 , то имеем
			Fj (x1, x2 , x3 )			f (x , x					) x x					.
						f (x , x				2	) x x				2	.
				x3				1		2		1			2
				x3
Исходя из понятия производной, получаем
		Fj (x1, x2 , x3 )			F		(x , x		, 0) F				(x , x					, 1) .
					F	j	(x , x	2	, 0) F			j	(x , x				2	, 1) .
			x3			j	1	2				j	1				2
			x3
Конъюнкция (x1 x2 )				равна 0 в точках (x1, x2 ) (00, 01,															10) для кото-
рых остаточные функции Fj (x1, x2 , 0), Fj (x1, x2 , 1)														равны друг другу:

k Fj ( X , xi1 , xi2 , ..., xik ) f ( X ) . (xi1 , xi2 , ..., xik )

Fj (x1, x2 , 0) Fj (x1, x2 , 1) (0, 1) .

Конъюнкция (x1 x2 ) равна 1 в точке (x1, x2 ) (11) , при этом

Fj (x1, x2 , 0) Fj (x1, x2 , 1) (0, 1).

Таким образом, характеристический вектор, определяющий подынте-

гральную функцию f ( X ), увеличивается вдвое, при этом каждый разряд полу-

ченного вектора (характеристического вектора первообразной Fj ( X , xi ) ) может быть заполнен двумя способами:

1) (00) или (11) при Fj 0 ;xi

2) (01) или (10) при Fj 1.xi

Отсюда мощность первообразных при интегрировании f (X )dxi равна

22|X | :

| {Fj ( X , xi )}| 22|x| ,

| X | – число переменных подынтегральной функции f ( X ).

В рассматриваемом примере мощность множества первообразных равна

222 16 , одна из них, например, определяется последним столбцом табл. 22:

Fj (x1, x2 , x3 ) |1 (0, 1, 4, 5, 6) ,

Fj (x1, x2 , x3 ) x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 x2 x1x3 ;

Fj Fj (x1, x2 , 0) Fj (x1, x2 , 1) (x2 x1) x2 x1 x2 .x3

Обобщим интегрирование по одной переменной, введя интегрирование

по k переменным (многомерное интегрирование):

f (X )dxi1 dxi2 ...dxik		{Fj (X , xi1 , xi2 , ..., xik )},

k F

( X , x

, x

, ..., x )

Производная k-го порядка

показывает условия

(xi

, xi

, ..., xi

)

переключения функции Fj ( X , xi1 , xi2 , ..., xik ) при одновременном переключе-

нии переменных ( xi1 , xi2 , ..., xik ) :

k F

( X , x

, x , ..., x )

Fj ( X , i , i

, ..., i

)

(xi

, xi

, ..., xi )

( X , i

, i

, ..., i

{0, 1},

1, 2, ..., k.

Производная равна 0, если остаточные функции на противоположных на-

борах

( i

, i

, ..., i

)

принимают одинаковые значения (00)

), ( i , i

, ..., i

или (11); при равенстве производной 1 – противоположные значения (01) или

(10). Каждому разряду характеристического вектора подынтегральной функции

f ( X )	соответствует 2k 1 пар противоположных наборов				( i	, i		, ..., i		),
					1		2		k

(i , i	2	, ..., i	k	) .
1	2		k

В свою очередь, каждой паре противоположных наборов можно сопоста-

вить два значения остаточных функций. Таким образом, каждому разряду ха-

рактеристического вектора подынтегральной функции f ( X ) сопоставляем од-

но из 2k значений переменных ( xi1 , xi2 , ..., xik ) и остаточных функций. Следо-

вательно, мощность первообразных функций | {Fj ( X , xi1 , xi2 , ..., xik )}| при k-

мерном интегрировании равна

| {Fj ( X , xi1 , xi2 , ..., xik )}| 2k 2|X | .

П р и м е р . Вычислим множество первообразных {Fj (x1, x2 , x3, x4 )} для двумерного интеграла (x1 x2 )dx3dx4 Оформим это вычисление в виде за-

полнения соответствующей одномерной таблицы (табл. 1.23).

Из таблицы 23 можно построить 256 первообразных функций, одну из них определяет последний столбец:

F(x1, x2 , x3, x4 ) |1 (0, 2, 4, 5, 8, 11, 12, 14) ,

F (x1, x2 , x3 , x4 ) x1x2 x3 x4 x1x2 x3 x4 x1x2 x3x4 x1x2 x3x4x1x2 x3 x4 x1x2 x3 x4 x1x2 x3 x4 x1x2 x3 x4 .

Сокращенная ДНФ функции совпадает с тупиковой минимальной ДНФ и имеет вид

F(x1, x2 , x3 , x4 ) x1x2 x3 x4 x1x2 x4 x1x2 x3 x1x2 x4 x3 x4.

						Таблица 23

x1	x2	x1 x2	x3	x4	Fj (x1, x2 , x3, x4 )
			0	0	0		1
0	0	1	1	1	1		0
0	0	1	0	1	1		0
			0	1	1		0
			1	0	0		1
			0	0	0		1
0	1	1	1	1	1		0
0	1	1	0	1	0		1
			0	1	0		1
			1	0	1		0
			0	0	0		1
1	0	0	1	1	0		1
1	0	0	0	1	1		0
			0	1	1		0
			1	0	1		0
			0	0	0		1
1	1	1	1	1	1		0
1	1	1	0	1	1		0
			0	1	1		0
			1	0	0		1

Вычислим производную второго порядка

2 F ( X , x , x )	F ( X , x , x		)	2 F ( X , x , x )	F ( X , x , x )	, X (x , x ) .
3 4	3	4		3 4	3 4	, X (x , x ) .
(x3, x4 )	x3			x3 x4 )	x4	1	2
(x3, x4 )	x3			x3 x4 )	x4
Производная по переменной x3
	F ( X , x3 , x4 ) F ( X , 0, x ) F ( X ,1, x )
	x3			4	4
	x3

(x1x2 x4 x1x2 x1x2 x4 x4 ) (x1x2 x4 x1x2 x4 x1x2 x4 ).

Вычислим производную F( X , x3, x4 ) , используя двумерную таблицу

Вейча (табл. 24).

Таблица 24

										x1															x2 x4

																	00				01						10								11
																	00				01						10								11

										0							0					0						1									1

										1							1					1						0									0

	Из табл. 24 получаем выражение
	F( X , x3, x4 )												x							x x x																x				x x x .
	F( X , x3, x4 )										x		x			x			x	x x x									x				x			x			x	x x x .
	x3									1				2			4		1		2			4			1				2			4			1		2			4		1		2
	x3
	Производная по переменной x4
			F ( X , x3 , x4 )												F ( X , x , 0) F ( X , x , 1)
															F ( X , x , 0) F ( X , x , 1)
							x4															3															3
							x4
		(
		(			x1x2 x1x2 x3 x1x2 x3 ) (x1x2 x3 x1x2 x3 ).
	Вычислим производную																	F( X , x3, x4 ) ,														используя двумерную таблицу
																				x4
Вейча (табл. 25).
																																														Таблица 25

										x1															x2 x3
										x1							00				01						10								11
																	00				01						10								11

										0							1					1						0									0

										1							1					1						1									1

	Из табл. 25 получаем выражение
	F( X , x3, x4 )														x x x										x							x x x											x x x x						.
	F( X , x3, x4 )			x		x		x				x		x									x							x											x							x
				x		x		x				x		x									x							x											x							x
	x4				1		2		3	1				2			3		1		2			3				1			2			3			1		2			3		1	2	3	1	2
	x4
																	2 F ( X , x , x											)										F
	Смешанная производная:																							3			4																	0 .
	Смешанная производная:																		x			x												x				x						0 .
																			x			x			4									x				x		4
																			3						4									3						4
	Тогда окончательно получаем:
	2 F ( X , x , x )				x				x (x x ) x																	x x x x x 1 x x
3 4					x				x (x x ) x																	x x x x x 1 x x
	(x3 , x4 )						1			2							1		2						1			2						1			2					1		2		1	2
	(x3 , x4 )

1 x1(x2 1) 1 x1x2 x1 x1 x2.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дискретная математика

#
14.09.2024133.12 Кб0DM_IDZ_Mnozhestva.doc
#
14.09.2024556.03 Кб0ДМ_Тема1_1.1.ppt
#
14.09.20241.24 Mб1ДМ_Тема1_1.2_1.3.ppt
#
14.09.2024338.78 Кб2Задания по дискретной математике для студентов.pdf
#
17.01.20252.16 Mб2пособие мат логика Ткаченко Сысоев часть 2 09_12_2013.pdf
#
17.01.202558.68 Кб0решение идз 1 из пособия вариант 7.docx
#
17.01.202544.83 Кб0решение идз 2 из пособия вариант 7.docx
#
17.01.202548.4 Кб0решение идз 3 из пособия вариант 7.docx
#
17.01.202570.7 Кб1решение идз 4 из пособия вариант 7.docx
#
17.01.202554.48 Кб0решение идз 5 из пособия вариант 7.docx