пособие мат логика Ткаченко Сысоев часть 2 09_12_2013

C( X1, X 2 , X 3 ) ( X 2 X 3 ) ( X 3 X1 X 2 )

не является СДНФ относительно этого списка переменных, так как первый ее дизъюнктивный член является всего лишь двучленной конъюнкцией, но п = 3, а

во втором дизъюнктивном члене нарушен порядок переменных.

Т е о р е м а 4 . Пусть формула А зависит от списка переменных

( X1, , X n ) и А не тождественно-ложная формула. Тогда существует такая формула В, что A B и В находится в СДНФ относительно списка этих пере-

менных.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно теореме о приведении к ДНФ, сущест-

вует формула A1 такая, что A A1 и A1 находится в ДНФ. При этом можно считать, что A1 зависит от списка переменных ( X1, , X n ). Будем исходить из этой формулы, и просматривать её элементарные конъюнкции:

1. Пусть в элементарную конъюнкцию одновременно входит какая-

нибудь переменная X i и её отрицание X i . Если это единственная элементарная конъюнкция, то она на всех значениях переменной X i принимает значение Л,

а, следовательно, и вся формула, что невозможно, так как предполагается, что формула не тождественно-ложная.

Следовательно, имеются другие элементарные конъюнкции, и формула

(после некоторых перестановок) будет иметь вид:

X i X i C D ,

где С – остальные члены нашей элементарной конъюнкции, D – остальные дизъюнктивные члены всей формулы.

Но поскольку X i X i C Л , то Xi Xi C D D . Следовательно,

рассматриваемую конъюнкцию можно отбросить.

Так как А не тождественно-ложная, то после всех таких шагов всегда ос-

танутся какие-то неотброшенные элементы конъюнкции.

21

2. Пусть в некоторой элементарной конъюнкции переменная X i (или

X i ) встречается несколько раз. Тогда в силу идемпотентности (равносильность

5), можно оставить только одно вхождение X i (или X i ).

3. После проведенной обработки каждая элементарная конъюнкция С будет содержать какую-нибудь переменную не более одного раза (включая её вхождение под знаком отрицания). При этом возможны только следующие ва-

рианты:

а) элементарная конъюнкция С содержит один раз X i и не содержит ни разу X i ;

б) элементарная конъюнкция С содержит один раз X i и не содержит ни разу X i ;

в) элементарная конъюнкция С не содержит ни X i , ни X i .

В последнем случае мы заменяем С на С X i C X i по первой формуле расщепления (равносильность 21). Эту операцию следует проводить до тех пор, пока для каждой элементарной конъюнкции и каждой переменной не будут выполнены условия а) или б).

4. Переупорядочим в каждой элементарной конъюнкции её члены таким образом, чтобы на i-ом месте в ней стояла X i или X i .

5. Если в преобразованной формуле несколько раз встречается одна и та же элементарная конъюнкция, то, пользуясь равносильностью 6 (идемпотент-

ность ), выбрасываем все её вхождения, кроме одного.

Доказательство завершено.

П р и м е р . Приведем формулу к СДНФ

(X1 | X 2 ) X 3 (28) [(X1 | X 2 ) X 3 ] [(X1 | X 2 ) X 3 ] (29)

[( X1 X 2 ) X 3 ] [( X1 X 2 ) X 3 ] (23, 8)

[ X1 X 2 X 3 ] [(X1 X 2 ) X 3 ] (6)

22

[ X1 X 2 X 3 ] [(X1 X 3 ) ( X 2 X 3 )] (17)

[ X1 X 2 X 3 ] [ X1 ( X 2 X 2 ) X 3 ] [(X1 X1 ) X 2 X 3 ] (6)( X1 X 2 X 3 ) ( X1 X 2 X 3 ) ( X1 X 2 X 3 )

( X1 X 2 X 3 ) ( X1 X 2 X 3 ) (9)

( X1 X 2 X 3 ) ( X1 X 2 X 3 ) ( X1 X 2 X 3 ) ( X1 X 2 X 3 ) .

торого зависит формула А, новыми переменными, реально в А не входящими,

то относительно нового списка будем иметь другую СДНФ.

П р и м е р . Пусть формула А, зависящая от одной переменной, находит-

ся в СДНФ относительно списка ( X1 )

A( X1) X1 .

Тогда относительно списка переменных ( X1, X 2 ) СДНФ формулы А бу-

дет иметь вид

A( X1, X 2 ) ( X1 X 2 ) ( X1 X 2 ) .

Аналогично определяется СКНФ.

Пусть формула А зависит от n переменных. Тогда говорят, что А нахо-

дится в СКНФ относительно переменных, если формула A* находится в СДНФ относительно тех же переменных.

Эквивалентное определение.

Говорят, что А находится в СКНФ относительно списка переменных, ес-

ли выполняются следующие условия:

а) А находится в КНФ (конъюнкция элементарных дизъюнкций);

б) в ней нет двух одинаковых конъюнктивных членов (то есть элемен-

тарных дизъюнкций);

23

в) каждый конъюнктивный член (элементарная дизъюнкция) формулы А является n-членной дизъюнкцией, причем на i-ом месте (1≤ i ≤ n) этой дизъ-

юнкции обязательно стоит либо переменная X i , либо её отрицание X i .

П р и м е р . Пусть ( X1, X 2 , X 3 ) – список переменных. Тогда формулы

A( X1, X 2 , X 3 ) X1 X 2 X 3 ;

B( X1, X 2 , X 3 ) ( X1 X 2 X 3 ) ( X1 X 2 X 3 ) ( X1 X 2 X 3 )

находятся в СКНФ относительно этого списка переменных. А формула

C( X1, X 2 , X 3 ) ( X1 X 3 X 2 ) ( X1 )

не является СКНФ относительно этого списка переменных, так как в первом ее конъюнктивном члене нарушен порядок переменных, а второй конъюнктивный

( X1, , X n ) и А не тождественно-истинная. Тогда существует такая формула В,

что А В и В находится в СКНФ относительно списка этих переменных.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А уже находится в КНФ. По условию А на каком-то наборе переменных принимает значение Л. Тогда A* на двойственном наборе принимает значение И и по теореме о СДНФ существует такая формула

В1 , что A* B1 и В1 находится в СДНФ. По принципу двойственности В1* A

24

Д о к а з а т е л ь с т в о . Действительно, В1* и В2* в условиях теоремы бу-

дут СДНФ для А*(по определению) и могут отличаться (по теореме о единст-

венности СДНФ) только порядком дизъюнктивных членов. Отсюда следует ут-

верждение теоремы.

Доказательство завершено.

СДНФ и СКНФ могут использоваться для распознавания равносильно-

сти 2-х формул.

П р и м е р . Приведем формулу к СКНФ

и А2 , зависящие от одних и тех же переменных ( X1, , X n ) и не равные тожде-

ственно Л (И), равносильны в том и только том случае, если они приводятся к СДНФ (СКНФ), отличающимся лишь порядком своих дизъюнктивных (конъ-

юнктивных) членов.

25

2.БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ

2.1.Представление булевой функции формулой алгебры

высказываний. Таблицы истинности

Булевой функцией f (x1, , xn ) называется произвольная п-местная функция, действующая из множества {0, 1} во множество {0, 1}. Таким образом, аргументы булевой функции принимают значения из множества {0, 1} и сама функция принимает значения из этого же множества.

Пусть истинностному значению И соответствует 1, а истинностному значению Л – 0. Тогда каждой формуле алгебры F можно поставить в соответствие булеву функцию f. При этом, если формуле F1 соответствует функция f1 ,

а формуле F2 – функция f2 и формулы тождественно равны, то есть F1 F2 ,

то будут тождественно равны и функции, то есть f1 f2 .

Всякую булеву функцию от п переменных можно задать таблицей ис-

тинности из 2n строк. В каждой строке этой таблицы записываются значения переменных и соответствующее значение функции.

Наборы из нулей и единиц, соответствующие значениям переменных, имеют стандартное расположение, то есть расположены в лексикографическом порядке (порядке возрастания). Действительно, каждый п-мерный вектор пере-

менный представляет собой двоичную запись чисел множества {0, 1, , 2n 1}.

Пусть n 3. Тогда булеву функцию можно представить в виде таблицы 7. При решении конкретных задач четвертый столбец обычно не указывают.

Таблица 7. Представление булевой функции таблицей истинности

26

Л е м м а 1 ( о ч и с л е с л о в ) . В алфавите A {a1, , ar } из r букв можно построить ровно r m различных слов длины т.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем индукцию по т.

Пусть k m 1. Тогда получаем ровно r1 r слов длины 1, то есть это слова, состоящие из одной буквы.

Пусть утверждение леммы верно для k m 1, то есть существует ровно r m 1 различных слов длины (т – 1).

Докажем для k m . Для каждого слова длины (m 1) существует ровно r возможностей добавить одну букву в слово. В итоге получаем слова длины т,

число которых равно r m 1 r r m 1 1 r m . Доказательство завершено.

В нашем случае алфавит A {0,1} состоит из r = 2 букв (значений): 0 и 1.

Длина слова (столбца) равна m 2n . Тогда по лемме 1 существует точно r m 22n различных п-местных булевых функций.

При п = 1 получаем 22n 221 4 булевы функции, зависящие от одной

переменной. При п = 2 получаем 22n 222 16 булевых функций, зависящие от двух переменных.

27

Булева функция f (x1, , xi 1, xi , xi 1, , xn ) существенно зависит от пе-

ременной xi , если существует такой набор значений 1, ,i 1,i 1, ,n , что

f(1, ,i 1,0,i 1, ,n ) f (1, ,i 1,1,i 1, ,n ) .

Вэтом случае xi называют существенной переменной, в противном слу-

вторая – как f2 (x1, x2 ) x2 . Таким образом, данные функции существенно не зависят от переменной x1 .

Перечислим все булевы функции от одного и двух аргументов с указани-

28

Введем обозначение

x x x ,

где – параметр, равный либо 0, либо 1. Тогда

И при этом, x 1 x , то есть значение «основания» равно значению

«показателя».

Т е о р е м а 9 ( о р а з л о ж е н и и ф у н к ц и и п о п е р е м е н н ы м ) .

Каждую булеву функцию f (x1, , xn ) при любом k (1 ≤ k ≤ п) можно предста-

вить в следующей форме:

29

x1, , xk .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим произвольный набор значений пере-

менных (1, ,n ) и покажем, что левая и правая части соотношения (7) при-

нимают на нем одно и то же значение.

Левая часть

f (x1, , xk , xk 1, , xn ) f (1, ,n ) .

Правая часть

как только хотя бы один из сомножителей будет равен нулю, вся конъюнкция

обратится в нуль. Таким образом, из ненулевых конъюнкций останется лишь та, в которой i i и

f (1, ,n ) .

Доказательство завершено.

С л е д с т в и е 1 . Разложение произвольной булевой функции по одной

переменной имеет вид

f (x1, x2 , , xn ) x1 f (0, x2 , , xn ) x1 f (1, x2 , , xn ) .

Из теоремы 9. вытекают две следующие теоремы.

Т е о р е м а 1 0 ( о С Д Н Ф б у л е в о й ф у н к ц и и ) . Для любой буле-

вой функции f (x1, , xn ) , отличной от константы 0, справедливо следующее представление

30