пособие мат логика Ткаченко Сысоев часть 2 09_12_2013

27)А В (А В) (А В) ;

28)А В ( А В) ( А В ) ;

29)A | B ( A B) ;

30)A B ( A B) .

1.3. Закон двойственности

Пусть X1 ,..., X n – все входящие в формулу А элементарные высказыва-

ние.

Формула А* ( X 1 ,..., X n ) A( X1 ,..., X n ) называется двойственной к фор-

муле A . Очевидно, что A** совпадает с А.

П р и м е р .

1. A X Y ; A* ( X ,Y ) A( X ,Y ) ( X Y ) X Y.

Таким образом, операция дизъюнкция ( ) двойственна операции конъ-

юнкция ( ), и наоборот.

равносильны друг другу, то и двойственными к ним также равносильны, то есть если А В , то и А* В* .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А( X1 ,..., X n ) B( X1 ,..., X n ), где X1 ,..., X n –

входящие в них элементарные высказывания. Тогда

A* ( X1 ,..., X n ) A( X1 ,..., X n ) и B* ( X 1 ,..., X n ) B ( X1 ,..., X n ) .

Формулы А( X1,..., X n ) и B( X1,..., Xn ) принимают одинаковые значения при любых значениях переменных X1,..., X n . Следовательно, А и В будут равно-

11

A* А( X1 ,..., X n ), B* B( X1 ,..., X n ), получаем А* В* .

Доказательство завершено.

1.4. Тождественно истинные и ложные формулы

Пусть формула А зависит от списка переменных X1 ,..., X n .

Формула А называется тавтологией (или тождественно-истинной формулой), если на любых оценках списка переменных X1 ,..., X n она принима-

ет значение И.

П р и м е р . X X .

Формула А называется выполнимой, если на некоторой оценке списка переменных X1 ,..., X n она принимает значение И.

П р и м е р . X Y .

Формула А называется тождественно-ложной, если на любых оценках списка переменных X1 ,..., X n она принимает значение Л.

П р и м е р . X X .

Формула А называется опровержимой, если на некоторой оценке списка переменных X1 ,..., X n она принимает значение Л.

П р и м е р . X Y .

У т в е р ж д е н и е 1 .

1.А – тавтология А не является опровержимой.

2.А – тождественно-ложна А не является выполнимой.

3.А – тавтология А – тождественно-ложна.

4.А – тождественно-ложна А – тавтология.

5.А~В– тавтология А≡В.

С точки зрения логики тавтологии суть не что иное, как логические за-

коны, ибо при любой подстановке вместо переменных тавтологии конкретных

12

высказываний в результате получим истинные высказывания. Ниже указаны наиболее важные тавтологии (А, В, С – произвольные формулы).

1)А А (закон исключающего третьего);

2)А А;

3)А (В А) ;

4)(А В) А;

5)(А В) В ;

6)А (В (А В)) ;

7)А (А В) ;

8)В (А В) ;

9)(В А) ((В А) В) ;

10)((А В) А) А (закон Пирса);

11)(А В) ((В С) (А С)) (цепное рассуждение);

12)(А (В С)) ((А В) (А С)).

Каждую из этих тавтологий можно обосновать, например, составив таб-

лицу истинности при произвольных значениях А, В, С.

При доказательстве утверждений различных математических теорий обычно используют рассуждения, которые на языке логики можно выразить формулами.

Рассуждение называется правильным, если из конъюнкции посылок сле-

дует заключение, то есть всякий раз, когда все посылки истинны, заключение тоже истинно.

Пусть P1,…, Pn – посылки, D – заключение. Тогда для определения пра-

данных посылок P1,…, Pn следует заключение D, требуется установить тожде-

ственную истинность формулы (P ... P ) D .

1 n

13

Так как речь идет лишь о правильности рассуждения, истинность заклю-

чения не является ни необходимым, ни достаточным условием правильности

рассуждения.

П р и м е р . Рассмотрим рассуждения.

1. Если число 7 простое, то оно нечетное. Число 7 нечетное. Следова-

2. Если Иван занимается спортом, то Иван никогда не болеет. Иван за-

нимается спортом. Следовательно, Иван никогда не болеет. Это рассуждение по

14

Рассмотрим условное высказывание вида A B , где А – конъюнкций посылок, В – заключение. Иногда удобнее вместо доказательства истинности этого условного высказывания установить логическую истинность некоторого другого высказывания, равносильного исходному. Такие формы доказательства называются косвенными методами доказательства.

Одним из них является способ доказательства от противного. Предпо-

ложим, что утверждение A B ложно. Тогда, исходя из этого предположения,

приходим к противоречию, то есть доказываем, что некоторое утверждение

(соответствующее высказыванию С) выполняется и не выполняется одновре-

менно. Применимость этой формы косвенного метода доказательства оправды-

вается равносильностью

A B ( A B) (C C) ( A B) (C C) .

Существуют и другие схемы доказательства от противного

A B ( A B) A ; A B ( A B) B .

Еще одной формой косвенного метода доказательства является доказа-

BA.

1.5.Нормальные формы (дизъюнктивные нормальные формы и

конъюнктивные нормальные формы)

Рассмотрим выражения

Высказывания A1 , A2 , , Ak связаны между собой с помощью только одной опе-

рации: конъюнкции в (1) и дизъюнкции в (2). Расставляя различным способом скобки, эти формулы будут приводиться к равносильным формулам в силу ас-

15

Д о к а з а т е л ь с т в о . Доказательство теоремы проведем в три этапа.

1) Для формулы А строим такую формулу A1 , что A A1и в A1 не со-

держатся операции , ~, ,|, (равносильности 24 – 30).

2) Докажем теперь, что для формулы A1 можно найти равносильную ей формулу A2 такую, что A1 A2 и в A2 операция отрицание находится только над переменными. Такая формула называется формулой с «тесными» отрица-

ниями. Докажем это утверждение индукцией по числу n логических символов

логических операций меньше, чем n. Поэтому к B1 применено индуктивное пред-

положение;

17

ность 8) и далее поступаем, как и в предыдущем случае.

П р и м е р . Преобразуем выражение к формуле с «тесными» отрицания-

ми (в скобках указаны номера равносильностей):

(( X1 ( X1 X3 )) ( X 2 X3 )) (7) ( X1 ( X1 X3 )) ( X 2 X3 )

(7, 8) X1 ( X1 X3 ) ( X 2 X3 ) (23) X1 ( X1 X3 ) ( X 2 X3 ).

3)Полученную формулу А2 можно считать построенной из переменных

иих отрицаний с помощью многочленных конъюнкций и дизъюнкций. Приме-

нив теперь обобщённую дистрибутивность относительно , последователь-

но преобразуем формулу. Дизъюнкция ( ) будет аналогична сложению, конъ-

юнкция ( ) – умножению. Полученная в результате преобразований формула В будет удовлетворять требованиям теоремы.

Доказательство завершено.

П р и м е р . Применим преобразования 3-го этапа к формуле с «тесными» отрицаниями, полученной в предыдущем примере:

X1 ( X1 X 3 ) ( X 2 X 3 ) (6) [(X1 X1 ) ( X1 X 3 )] ( X 2 X 3 )(6) [(X1 X1 ) ( X 2 X 3 )] [(X1 X 3 ) ( X 2 X 3 )] (6)

( X1 X1 X 2 ) ( X1 X1 X 3 ) ( X1 X 3 X 2 ) ( X1 X 3 X 3 )

(10, 18) ( X1 X 2 ) ( X1 X 3 ) ( X1 X 3 X 2 ) Л (13)

( X1 X 2 ) ( X1 X 3 ) ( X1 X 3 X 2 ).

Врезультате мы получили формулу, находящуюся в ДНФ.

Говорят, что формула А находится в конъюнктивной нормальной форме

(КНФ), если формула A* определена (то есть в А нет операций , ~, ,|, ) и на-

ходится в ДНФ.

КНФ можно дать и другое равносильное определение.

18

Формулу называют элементарной дизъюнкцией, если она является дизъюнкцией (может быть одночленной) переменных и/или отрицаний пере-

менных.

П р и м е р .

A1 ( X ,Y ) Y ; A2 ( X ,Y , Z ) Z; A3 ( X ,Y , Z ) X Y ; A4 ( X ,Y , Z ) Z Y X .

Формула находится в конъюнктивной нормальной форме (КНФ), если она является конъюнкцией (может быть одночленной) элементарных дизъюнк-

ций.

П р и м е р .

A1 ( X ,Y ) Y ; A2 ( X ,Y ) (Y ) ( X ); A3 ( X ,Y , Z ) (Y X Z );

A4 ( X ,Y ) Z (Y X ); A5 ( X ,Y , Z ) ( X Z Y ) ( X Y ) Z.

содержащую символов , ~, ,|, и содержащую отрицания только над пере-

менными. Преобразуем теперь A2 , применяя обобщенную дистрибутивность относительно . В результате получим формулу В, находящуюся в КНФ.

Доказательство завершено.

П р и м е р .

Приведём к КНФ формулу:

( X2 X3 ) ( X1 | X2 ) (28)

19

[(X 2 X3 ) (X1 | X 2 )] [(X 2 X3 ) (X1 | X 2 )] (30, 29)

[(X 2 X3 ) (X1 X 2 )] [(X 2 X3 ) (X1 X 2 )] (23, 8, 7)

[(X 2 X 3 ) ( X1 X 2 )] [(X 2 X 3 ) ( X1 X 2 )] (23)[(X 2 X 3 ) ( X1 X 2 )] [ X 2 X 3 X1 X 2 ] (2)

[(X 2 X 3 ) ( X1 X 2 )] [ X 2 X 2 X 3 X1 ] (18)

[(X 2 X 3 ) ( X1 X 2 )] Л (13) ( X 2 X 3 ) ( X1 X 2 ).

1.6.Совершенные нормальные формы (совершенные дизъюнктивные нормальные формы и совершенные

конъюнктивные нормальные формы)

Для каждой формула алгебры высказываний можно найти множество дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм. Особое место среди них занимают совершенные дизъюнктивные нормальные формы (СДНФ) и совер-

шенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ).

Пусть формула А зависит от n переменных. Говорят, что А находится в СДНФ относительно этих переменных, если выполняются следующие условия:

а) А находится в ДНФ (дизъюнкция элементарных конъюнкций);

б) в ней нет двух одинаковых дизъюнктивных членов (то есть элементарных конъюнкций);

в) каждый дизъюнктивный член (элементарная конъюнкция) формулы А является n-членной конъюнкцией, причем на i-ом месте (1≤ i ≤ n) этой конъ-

юнкции обязательно стоит либо переменная X i , либо её отрицание X i .

П р и м е р . Пусть ( X1, X 2 , X 3 ) – список переменных. Тогда формулы

A( X1, X 2 , X 3 ) X1 X 2 X 3 ;

B( X1, X 2 , X 3 ) ( X1 X 2 X 3 ) ( X1 X 2 X 3 ) ( X1 X 2 X 3 )

находятся в СДНФ относительно этого списка переменных. А формула

20