Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

пособие мат логика Ткаченко Сысоев часть 2 09_12_2013

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
17.01.2025
Размер:
2.16 Mб
Скачать

yz

00

01

11

10

x

 

 

 

 

0

1

0

0

1

 

 

 

 

 

1

0

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

y z

 

 

 

 

 

 

 

yz

00

01

11

10

x

 

 

 

 

0

1

0

0

1

 

 

 

 

 

1

0

1

0

0

 

 

 

 

 

x z

КНФ: f (x, y, z) (x z) ( y z) (x z) .

91

ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ

Тестовые задания для защиты ИДЗ

Тест 1

1.

Штрихом Шеффера двух высказываний А и В называется высказыва-

ние, ложное тогда и только тогда, когда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) А истинно, В ложно;

 

 

 

 

 

 

в) А ложно, В истинно;

 

 

 

б) А и В истинны;

 

 

 

 

 

 

г) А и В ложны.

2.

Указать закон поглощения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) (A В) (В A) ;

 

 

 

 

 

 

 

г) A (A B) A

а) ( A B) A B ;

в) A A И ;

3.

 

 

Указать

равносильную

формулу для

данной формулы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( X Y ) ( X Y ) X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) X Y ;

 

 

 

 

 

 

 

 

б) X Y ;

 

в) X Y ;

 

 

г) X Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Указать двойственную формулу к данной формуле: X Y ~ X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) X Y ;

 

 

г) X Y

а) X Y ;

б) X Y ;

 

 

 

5.

Указать формулу, не являющуюся тождественно-ложной:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) (А А) В

а) А А;

 

 

 

 

 

 

 

б) А (В А) ;

 

в) В ( А В) ;

6.

 

Составить

элементарную функцию f (x, y) по

двоичному набору

F=(1001):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y x ;

б) x y ;

 

в) x ~ y ;

 

 

г) x y

92

Тест 2

1. Найти СДНФ для формулы A(x, y) x y :

а) x y ;

в) ( y x) ( y x) ;

б) (x y) (x y) (x y) ;

г) (x y) (x y) .

2. Определить СКНФ для двойственной формулы A*(x, y) к формуле

A(x, y) из предыдущего задания:

 

а) x y ;

в) (x y) (x y) ;

б) x y ;

г) (x y) (x y) (x y) .

3. Для какой формулы существует только СДНФ и не существует

СКНФ?

 

а) A(x, y) x ( y x);

в) A(x, y) x y x ;

б) A(x, y) x y x ;

г) A(x, y) x ~ y ~ y

4. Указать максимальное количество дизъюнктивных членов в СДНФ для функции f (x1 ,..., xn ) при п=4:

а) 22;

б) 23;

в) 0;

г) 24.

93

Тест 3

1. Пусть f (x1 ,..., xn ) - булева функция, п=5. Указать количество коэффи-

циентов aijk

при конъюнкциях xi x j xk , i, j, k 1,..., n, i j,i k, j k

в полиноме

Жегалкина:

 

 

 

а) 1;

б) 0;

в) 10;

г) 5.

2. Поставить в соответствие булевой функции f(x, y) полином Жегалкина

P(x, y):

1)

f (x, y) x y ;

а) P(x, y) 0;

2)

f (x, y) x | y ;

б) P(x, y) 1 x xy ;

3)

f (x, y) x y ;

в) P(x, y) x y xy ;

 

 

г) P(x, y) 1 xy .

3. Составить полином Жегалкина для функции f (x, y, z) (x y) ~ z :

__________________

4. Пусть f (x1 ,..., xn ) - булева функция, п=4. Выбрать уравнение для на-

хождения коэффициента полинома Жегалкина a234 при конъюнкции x2 x3 x4 :

а) a234 f (0111) ;

б) a0 a2 a3 a4 a23 a24 a34 a234 f (0111) ; в) a0 a2 a3 a4 a234 f (0111) ;

г) a2 a3 a4 a23 a24 a34 a234 f (0111) .

5. Найти производную f

от булевой функции f (x, y, z) x ( y z) :

 

y

 

 

 

а) 1 x z xz ;

б) y z ;

в) x xz ;

г) 1 x xyz .

6. Найти разложение булевой функции

f (x, y, z) ( y z) | x в точке

(011):

 

 

 

 

а) x xy xz ;

б) 1 x xy xz ;

в) 1 x ;

г) xyz .

 

 

94

 

 

Тест 4

1.

Булева функция f (x1,..., xn ) называется линейной, если:

а) её полином Жегалкина имеет вид P(x1,..., xn ) a1x1 ... an xn ;

б) эта функция не является константой;

 

 

 

 

 

 

в) её полином Жегалкина имеет вид P(x1,..., xn ) a0

a12...n x1 x2 ... xn ;

г) её полином Жегалкина имеет вид P(x1,..., xn ) a0 a1x1 ... an xn ;

2.

Выбрать те булевы функции f (x, y) , которые не принадлежат классу

функций, сохраняющих константу 0:

 

 

 

 

 

 

а) x ;

 

б) x ~ y ;

 

 

в) 0;

 

 

 

г) x | y .

3.

Какую функцию необходимо добавить, чтобы система из 2-х булевых

функций f1(x, y) x y и f2 (x, y) y

стала полной согласно теореме Поста?

а) x y ;

б) x y ;

 

 

в) x ~ y ;

 

 

г) y x .

4.

По двоичному набору булевой функции

f (x, y, z)

выбрать ту функ-

цию, которая принадлежит классу S:

 

 

 

 

 

 

а) (01101001);

б) (11111111);

 

в) (10011001);

 

г) (01111111).

5.

Построить таблицу Поста для булевой функции

f (x, y, z) (x y) z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Класс

Т0

Т1

S

M

L

 

 

 

 

Функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x, y, z)

6.Поставить в соответствие булевой функции f(x, y) булеву функцию

g(x, y) из базиса {|}

1)

f (x, y) x ;

а) g(x, y) (x | x) | ( y | y) ;

2)

f (x, y) x y ;

б) g(x, y) (x | x) | (x | y) ;

 

 

в) g(x, y) x | x .

95

Тест 5

1. Найти минимальную ДНФ для функции f(x, y, z, t), заданную с помо-

щью карты Карно:

Xy

00

01

11

10

zt

 

 

 

 

00

0

1

1

0

01

0

0

0

0

11

0

0

0

0

10

0

1

1

0

2. Выбрать возможные значения площади правильной конфигурации на

карте Карно:

а) 1;

б) 6;

в) 4;

г) 12;

д) 8.

3. Функция f(x, y, z) представлена с помощью карты Карно. Указать коли-

чество элементарных конъюнкций (в СДНФ):

 

yz

00

01

11

10

x

 

 

 

 

 

 

0

 

1

1

1

0

1

 

0

0

0

0

4. По карте Карно определить одну из элементарных дизъюнкций функ-

ции f(x, y, z) (в СКНФ)

 

 

 

 

 

 

 

 

yz

00

 

01

11

 

10

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

1

1

 

0

 

 

 

 

 

1

 

0

 

1

0

 

1

 

а) x y z ;

б) x y z ;

 

в) x y z ;

г) x y z .

5. Сопоставить конъюнкции ее номер и индекс:

 

 

 

1)

x y z t

 

а) 1010 (10, II)

 

г) 1100 (12, II)

2)

 

 

 

 

 

 

 

б) 0111 (7, III)

 

д) 1110 (14, III)

 

x y z t

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

в) 0011 (3, II)

 

 

 

 

 

x y z t

 

 

 

 

 

4)

 

 

y z t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

96

97

ПРИМЕРЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Контрольная работа № 1

1.Написать определение операции «штрих Шеффера» и построить таблицу истинности для формулы F(X ,Y ) X | Y .

2.Доказать, что формула F(X ,Y ) ((X Y ) X ) Y является тожде-

ственно-истинной.

3. Определить, являются ли формулы F1( X ,Y ) X Y и F2 ( X ,Y ) X Y эквивалентными.

4. Доказать тождество Y X Z (X Y Z) (X Y ) (Y Z ) с по-

мощью равносильностей алгебры высказываний.

5. Привести формулу F(X ,Y , Z ) (X Y Z ) к формуле с тесными от-

рицаниями.

Контрольная работа № 2

1. Используя СКНФ, найти булеву функцию, принимающую значение 0 на следующих наборах переменных, и только на них:

f (0,0,1) f (0,1,1) f (1,1,1) 0.

2. Доказать, что Т0 – класс булевых функций, сохраняющих константу 0, является функционально-замкнутым.

3. Проверить систему булевых функций { f1(x, y) x, f2 (x, y) x ~ y, f3 (x, y) x y} на полноту по теореме Поста. Если система окажется непол-

ной, то для полноты добавить еще одну функцию двух переменных.

4.Разложить по базису { } функцию f (x, y) x y .

5.Найти минимальную ДНФ для функции f (x, y, z,t)

zt

00

01

11

10

xy

 

 

 

 

00

1

1

1

0

01

1

1

1

0

11

0

0

0

0

10

1

1

1

0

98

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Высказывание. Логические операции. Приоритет операций. Формулы ал-

гебры высказываний.

2.Закон двойственности.

3.Тождественно истинные и тождественно ложные формулы.

4.Дизъюнктивная нормальная форма. Теорема о приведении к ДНФ.

5.Конъюнктивная нормальная форма. Теорема о приведении к КНФ.

6.Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.

7.Совершенная конъюнктивная нормальная форма.

8.Теоремы о единственности СДНФ и СКНФ.

9.Представление булевой функции формулой алгебры высказывания. Таб-

лица истинности для всех булевых функций f (x, y) .

10.Теорема о разложении булевой функции по переменным. Следствие из теоремы.

11.Теорема о СДНФ булевой функции.

12.Теорема о СКНФ булевой функции.

13.Алгебра Жегалкина. Теорема Жегалкина.

14.Полиномы Жегалкина для всех булевых функций f (x, y) . 15.Функционально-замкнутый класс Т0. 16.Функционально-замкнутый класс Т1. 17.Функционально-замкнутый класс S. 18.Функционально-замкнутый класс M. 19.Функционально-замкнутый класс L.

20.Теорема о функциональной полноте (теорема Поста). Примеры функцио-

нально-полных базисов.

21.Минимизация булевых функций аналитическим путем.

22.Минимизация булевых функций с помощью карт Карно.

99

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Акимов, О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы [Текст] /

О.Е. Акимов. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2003. – 376 с.

2. Андерсон, Джеймс А. Дискретная математика и комбинаторика

[Текст] / Джеймс А. Андерсон. – М.: Издательский дом Вильямс, 2004. – 960 с.

3. Белоусов, А.И. Дискретная математика (Серия Математика в

техническом университете; Вып. XIX) [Текст] / А.И. Белоусов, С.Б. Ткачев. –

М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 744 с.

4. Гаврилов, Г.П. Сборник задач по дискретной математике [Текст] /

Г.П. Гаврилов, А.А. Сапоженко. – М.: Наука, 1977. – 368 с.

5. Галушкина, Ю.И. Конспект лекций по дискретной математике

[Текст] / Ю.И. Галушкина, А.Н. Марьямов. – М.: Айрис-пресс, 2007. – 176 с.

6.

Деза Е.И., Модель Д.Л. Основы дискретной математики [Текст] /

Е.И. Деза, Д.Л. Модель – М.: Либроком, 2011.

– 224 с.

 

 

7.

Дурнев В.Г. Элементы

дискретной математики:

учеб.

пособие.

Часть I [Текст] / В.Г. Дурнев, М.А. Башкин, О.П. Якимова; Яросл. гос. ун-т им.

П.Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2007. – Часть I. – 169 с.

 

 

8.

Ерош, И.Л. Дискретная математика [Текст] / И.Л. Ерош, М.Б. Сергеев,

Н.В. Соловьев. – СПб.: СПбГУАП, 2005. – 144

с.

 

 

9.

Ерусалимский, Я.М.

Дискретная

математика:

теория,

задачи,

приложения [Текст] / Я.М. Ерусалимский. – М.: Вузовская книга, 2000. – 280 с.

10. Лавров, И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов [Текст] / И.А. Лавров, Л.Л. Максимова. – М.: Физматлит,

2004. – 256 с.

11. Нефедов, В.Н. Курс дискретной математики [Текст] / В.Н. Нефедов,

В.А. Осипова. – М.: Издательство МАИ, 1992. – 264 с.

12. Новиков, Ф.А. Дискретная математика для программистов [Текст] /

Ф.А. Новиков. – СПб.: Питер, 2002. – 304 с.

100