
пособие мат логика Ткаченко Сысоев часть 2 09_12_2013
.pdf
yz |
00 |
01 |
11 |
10 |
x |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
y z |
|
|
|
|
|
|
|
yz |
00 |
01 |
11 |
10 |
x |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
x z
КНФ: f (x, y, z) (x z) ( y z) (x z) .
91
ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ
Тестовые задания для защиты ИДЗ
Тест 1
1. |
Штрихом Шеффера двух высказываний А и В называется высказыва- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ние, ложное тогда и только тогда, когда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
а) А истинно, В ложно; |
|
|
|
|
|
|
в) А ложно, В истинно; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
б) А и В истинны; |
|
|
|
|
|
|
г) А и В ложны. |
||||||||||||||||||||||||
2. |
Указать закон поглощения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) (A В) (В A) ; |
|
|
|
|
|
|
|
г) A (A B) A |
||||||||||||
а) ( A B) A B ; |
в) A A И ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
Указать |
равносильную |
формулу для |
данной формулы: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( X Y ) ( X Y ) X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) X Y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) X Y ; |
|
в) X Y ; |
|
|
г) X Y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4. |
Указать двойственную формулу к данной формуле: X Y ~ X |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) X Y ; |
|
|
г) X Y |
||||||||||||||||||||
а) X Y ; |
б) X Y ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Указать формулу, не являющуюся тождественно-ложной: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) (А А) В |
|||||||||||||||||
а) А А; |
|
|
|
|
|
|
|
б) А (В А) ; |
|
в) В ( А В) ; |
||||||||||||||||||||||||
6. |
|
Составить |
элементарную функцию f (x, y) по |
двоичному набору |
||||||||||||||||||||||||||||||
F=(1001): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) y x ; |
б) x y ; |
|
в) x ~ y ; |
|
|
г) x y |
92
Тест 2
1. Найти СДНФ для формулы A(x, y) x y :
а) x y ; |
в) ( y x) ( y x) ; |
б) (x y) (x y) (x y) ; |
г) (x y) (x y) . |
2. Определить СКНФ для двойственной формулы A*(x, y) к формуле |
|
A(x, y) из предыдущего задания: |
|
а) x y ; |
в) (x y) (x y) ; |
б) x y ; |
г) (x y) (x y) (x y) . |
3. Для какой формулы существует только СДНФ и не существует |
|
СКНФ? |
|
а) A(x, y) x ( y x); |
в) A(x, y) x y x ; |
б) A(x, y) x y x ; |
г) A(x, y) x ~ y ~ y |
4. Указать максимальное количество дизъюнктивных членов в СДНФ для функции f (x1 ,..., xn ) при п=4:
а) 22; |
б) 23; |
в) 0; |
г) 24. |
93
Тест 3
1. Пусть f (x1 ,..., xn ) - булева функция, п=5. Указать количество коэффи-
циентов aijk |
при конъюнкциях xi x j xk , i, j, k 1,..., n, i j,i k, j k |
в полиноме |
|
Жегалкина: |
|
|
|
а) 1; |
б) 0; |
в) 10; |
г) 5. |
2. Поставить в соответствие булевой функции f(x, y) полином Жегалкина
P(x, y):
1) |
f (x, y) x y ; |
а) P(x, y) 0; |
2) |
f (x, y) x | y ; |
б) P(x, y) 1 x xy ; |
3) |
f (x, y) x y ; |
в) P(x, y) x y xy ; |
|
|
г) P(x, y) 1 xy . |
3. Составить полином Жегалкина для функции f (x, y, z) (x y) ~ z :
__________________
4. Пусть f (x1 ,..., xn ) - булева функция, п=4. Выбрать уравнение для на-
хождения коэффициента полинома Жегалкина a234 при конъюнкции x2 x3 x4 :
а) a234 f (0111) ;
б) a0 a2 a3 a4 a23 a24 a34 a234 f (0111) ; в) a0 a2 a3 a4 a234 f (0111) ;
г) a2 a3 a4 a23 a24 a34 a234 f (0111) .
5. Найти производную f |
от булевой функции f (x, y, z) x ( y z) : |
|||
|
y |
|
|
|
а) 1 x z xz ; |
б) y z ; |
в) x xz ; |
г) 1 x xyz . |
|
6. Найти разложение булевой функции |
f (x, y, z) ( y z) | x в точке |
|||
(011): |
|
|
|
|
а) x xy xz ; |
б) 1 x xy xz ; |
в) 1 x ; |
г) xyz . |
|
|
|
94 |
|
|

Тест 4
1. |
Булева функция f (x1,..., xn ) называется линейной, если: |
||||||||
а) её полином Жегалкина имеет вид P(x1,..., xn ) a1x1 ... an xn ; |
|||||||||
б) эта функция не является константой; |
|
|
|
|
|
|
|||
в) её полином Жегалкина имеет вид P(x1,..., xn ) a0 |
a12...n x1 x2 ... xn ; |
||||||||
г) её полином Жегалкина имеет вид P(x1,..., xn ) a0 a1x1 ... an xn ; |
|||||||||
2. |
Выбрать те булевы функции f (x, y) , которые не принадлежат классу |
||||||||
функций, сохраняющих константу 0: |
|
|
|
|
|
|
|||
а) x ; |
|
б) x ~ y ; |
|
|
в) 0; |
|
|
|
г) x | y . |
3. |
Какую функцию необходимо добавить, чтобы система из 2-х булевых |
||||||||
функций f1(x, y) x y и f2 (x, y) y |
стала полной согласно теореме Поста? |
||||||||
а) x y ; |
б) x y ; |
|
|
в) x ~ y ; |
|
|
г) y x . |
||
4. |
По двоичному набору булевой функции |
f (x, y, z) |
выбрать ту функ- |
||||||
цию, которая принадлежит классу S: |
|
|
|
|
|
|
|||
а) (01101001); |
б) (11111111); |
|
в) (10011001); |
|
г) (01111111). |
||||
5. |
Построить таблицу Поста для булевой функции |
f (x, y, z) (x y) z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Класс |
Т0 |
Т1 |
S |
M |
L |
|
|
|
|
Функция |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x, y, z)
6.Поставить в соответствие булевой функции f(x, y) булеву функцию
g(x, y) из базиса {|}
1) |
f (x, y) x ; |
а) g(x, y) (x | x) | ( y | y) ; |
2) |
f (x, y) x y ; |
б) g(x, y) (x | x) | (x | y) ; |
|
|
в) g(x, y) x | x . |
95

Тест 5
1. Найти минимальную ДНФ для функции f(x, y, z, t), заданную с помо-
щью карты Карно:
Xy |
00 |
01 |
11 |
10 |
|
zt |
|||||
|
|
|
|
||
00 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
01 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
10 |
0 |
1 |
1 |
0 |
2. Выбрать возможные значения площади правильной конфигурации на
карте Карно:
а) 1; |
б) 6; |
в) 4; |
г) 12; |
д) 8. |
3. Функция f(x, y, z) представлена с помощью карты Карно. Указать коли-
чество элементарных конъюнкций (в СДНФ):
|
yz |
00 |
01 |
11 |
10 |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
4. По карте Карно определить одну из элементарных дизъюнкций функ-
ции f(x, y, z) (в СКНФ)
|
|
|
|
|
|
|
|
yz |
00 |
|
01 |
11 |
|
10 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
1 |
|
|||
а) x y z ; |
б) x y z ; |
|
в) x y z ; |
г) x y z . |
|||||||||||
5. Сопоставить конъюнкции ее номер и индекс: |
|
|
|
||||||||||||
1) |
x y z t |
|
а) 1010 (10, II) |
|
г) 1100 (12, II) |
||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
б) 0111 (7, III) |
|
д) 1110 (14, III) |
|||||
|
x y z t |
|
|
|
|||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
в) 0011 (3, II) |
|
|
|
|
||||
|
x y z t |
|
|
|
|
|
|||||||||
4) |
|
|
y z t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
96
97

ПРИМЕРЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Контрольная работа № 1
1.Написать определение операции «штрих Шеффера» и построить таблицу истинности для формулы F(X ,Y ) X | Y .
2.Доказать, что формула F(X ,Y ) ((X Y ) X ) Y является тожде-
ственно-истинной.
3. Определить, являются ли формулы F1( X ,Y ) X Y и F2 ( X ,Y ) X Y эквивалентными.
4. Доказать тождество Y X Z (X Y Z) (X Y ) (Y Z ) с по-
мощью равносильностей алгебры высказываний.
5. Привести формулу F(X ,Y , Z ) (X Y Z ) к формуле с тесными от-
рицаниями.
Контрольная работа № 2
1. Используя СКНФ, найти булеву функцию, принимающую значение 0 на следующих наборах переменных, и только на них:
f (0,0,1) f (0,1,1) f (1,1,1) 0.
2. Доказать, что Т0 – класс булевых функций, сохраняющих константу 0, является функционально-замкнутым.
3. Проверить систему булевых функций { f1(x, y) x, f2 (x, y) x ~ y, f3 (x, y) x y} на полноту по теореме Поста. Если система окажется непол-
ной, то для полноты добавить еще одну функцию двух переменных.
4.Разложить по базису { } функцию f (x, y) x y .
5.Найти минимальную ДНФ для функции f (x, y, z,t)
zt |
00 |
01 |
11 |
10 |
xy |
|
|
|
|
00 |
1 |
1 |
1 |
0 |
01 |
1 |
1 |
1 |
0 |
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
1 |
1 |
1 |
0 |
98
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Высказывание. Логические операции. Приоритет операций. Формулы ал-
гебры высказываний.
2.Закон двойственности.
3.Тождественно истинные и тождественно ложные формулы.
4.Дизъюнктивная нормальная форма. Теорема о приведении к ДНФ.
5.Конъюнктивная нормальная форма. Теорема о приведении к КНФ.
6.Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
7.Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
8.Теоремы о единственности СДНФ и СКНФ.
9.Представление булевой функции формулой алгебры высказывания. Таб-
лица истинности для всех булевых функций f (x, y) .
10.Теорема о разложении булевой функции по переменным. Следствие из теоремы.
11.Теорема о СДНФ булевой функции.
12.Теорема о СКНФ булевой функции.
13.Алгебра Жегалкина. Теорема Жегалкина.
14.Полиномы Жегалкина для всех булевых функций f (x, y) . 15.Функционально-замкнутый класс Т0. 16.Функционально-замкнутый класс Т1. 17.Функционально-замкнутый класс S. 18.Функционально-замкнутый класс M. 19.Функционально-замкнутый класс L.
20.Теорема о функциональной полноте (теорема Поста). Примеры функцио-
нально-полных базисов.
21.Минимизация булевых функций аналитическим путем.
22.Минимизация булевых функций с помощью карт Карно.
99
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Акимов, О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы [Текст] /
О.Е. Акимов. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2003. – 376 с.
2. Андерсон, Джеймс А. Дискретная математика и комбинаторика
[Текст] / Джеймс А. Андерсон. – М.: Издательский дом Вильямс, 2004. – 960 с.
3. Белоусов, А.И. Дискретная математика (Серия Математика в
техническом университете; Вып. XIX) [Текст] / А.И. Белоусов, С.Б. Ткачев. –
М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 744 с.
4. Гаврилов, Г.П. Сборник задач по дискретной математике [Текст] /
Г.П. Гаврилов, А.А. Сапоженко. – М.: Наука, 1977. – 368 с.
5. Галушкина, Ю.И. Конспект лекций по дискретной математике
[Текст] / Ю.И. Галушкина, А.Н. Марьямов. – М.: Айрис-пресс, 2007. – 176 с.
6. |
Деза Е.И., Модель Д.Л. Основы дискретной математики [Текст] / |
||||
Е.И. Деза, Д.Л. Модель – М.: Либроком, 2011. |
– 224 с. |
|
|
||
7. |
Дурнев В.Г. Элементы |
дискретной математики: |
учеб. |
пособие. |
|
Часть I [Текст] / В.Г. Дурнев, М.А. Башкин, О.П. Якимова; Яросл. гос. ун-т им. |
|||||
П.Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2007. – Часть I. – 169 с. |
|
|
|||
8. |
Ерош, И.Л. Дискретная математика [Текст] / И.Л. Ерош, М.Б. Сергеев, |
||||
Н.В. Соловьев. – СПб.: СПбГУАП, 2005. – 144 |
с. |
|
|
||
9. |
Ерусалимский, Я.М. |
Дискретная |
математика: |
теория, |
задачи, |
приложения [Текст] / Я.М. Ерусалимский. – М.: Вузовская книга, 2000. – 280 с.
10. Лавров, И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов [Текст] / И.А. Лавров, Л.Л. Максимова. – М.: Физматлит,
2004. – 256 с.
11. Нефедов, В.Н. Курс дискретной математики [Текст] / В.Н. Нефедов,
В.А. Осипова. – М.: Издательство МАИ, 1992. – 264 с.
12. Новиков, Ф.А. Дискретная математика для программистов [Текст] /
Ф.А. Новиков. – СПб.: Питер, 2002. – 304 с.
100