пособие мат логика Ткаченко Сысоев часть 2 09_12_2013
.pdf1
2
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. |
5 |
1. Булевы алгебры........................................................................................................ |
6 |
1.1. Высказывание. Логические операции. Формулы алгебры |
|
высказываний. Приоритет операций................................................................. |
6 |
1.2. Равносильность формул............................................................................... |
9 |
1.3. Закон двойственности ................................................................................ |
11 |
1.4. Тождественно истинные и ложные формулы ......................................... |
12 |
1.5. Нормальные формы (дизъюнктивные нормальные формы и |
|
конъюнктивные нормальные формы) ............................................................. |
15 |
1.6. Совершенные нормальные формы (совершенные дизъюнктивные |
|
нормальные формы и совершенные конъюнктивные нормальные формы)20 |
|
2. Булевы функции .................................................................................................... |
26 |
2.1. Представление булевой функции формулой алгебры высказываний. |
|
Таблицы истинности ......................................................................................... |
26 |
2.2. Алгебра Жегалкина .................................................................................... |
32 |
3. Теорема о функциональной полноте (теорема Поста). Примеры |
|
функционально-полных базисов.............................................................................. |
36 |
4. Дифференцирование булевых функций.............................................................. |
42 |
5. Интегрирование булевых функций ..................................................................... |
46 |
6. Минимизация булевых функций ......................................................................... |
51 |
6.1. Непосредственная минимизация .............................................................. |
51 |
6.2. Карты Карно................................................................................................ |
52 |
6.3. Метод Квайна – Мак-Класки .................................................................... |
55 |
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЕ (ВАРИАНТЫ) ....................... |
62 |
ИДЗ 1. Таблицы истинности булевых функций................................................. |
62 |
ИДЗ 2. Совершенные нормальные формы.......................................................... |
68 |
ИДЗ 3. Алгебра Жегалкина .................................................................................. |
68 |
ИДЗ 4. Полнота систем булевых функций ......................................................... |
68 |
3
ИДЗ 5. Минимизация булевых функций............................................................. |
68 |
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ (ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ)69 |
|
Пример выполнения ИДЗ 1 .................................................................................. |
69 |
Пример выполнения ИДЗ 2 .................................................................................. |
73 |
Пример выполнения ИДЗ 3 .................................................................................. |
75 |
Пример выполнения ИДЗ 4 .................................................................................. |
80 |
Пример выполнения ИДЗ 5 .................................................................................. |
87 |
ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ........................................................ |
92 |
Тестовые задания для защиты ИДЗ ..................................................................... |
92 |
Тест 1 ...................................................................................................................... |
92 |
Тест 2 ...................................................................................................................... |
93 |
Тест 3 ...................................................................................................................... |
94 |
Тест 4 ...................................................................................................................... |
95 |
Тест 5 ...................................................................................................................... |
96 |
Примеры контрольных работ ................................................................................... |
98 |
Контрольная работа № 1....................................................................................... |
98 |
Контрольная работа № 2....................................................................................... |
98 |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .................................................................................. |
99 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.................................................................... |
100 |
4
ВВЕДЕНИЕ
Дискретная математика – одна из важнейших составляющих современ-
ной математики. С одной стороны, она включает фундаментальные основы ма-
тематики – теорию множеств, математическую логику, теорию алгоритмов; с
другой стороны, является основным математическим аппаратом информатики и вычислительной техники и потому служит базой для многочисленных прило-
жений в экономике, технике, социальной сфере.
В отличие от традиционной математики (математического анализа, ли-
нейной алгебры ), методы и конструкции которой имеют в основном числовую интерпретацию, дискретная математика имеет дело с объектами нечисловой природы: множествами, логическими высказываниями, алгоритмами, графами.
Благодаря этому обстоятельству дискретная математика впервые позволила распространить математические методы на сферы и задачи, которые ранее бы-
ли далеки от математики.
Алгебра высказываний – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы ус-
тановления их истинности с помощью алгебраических методов.
Алгебру высказываний иначе еще называют алгеброй логики, логикой высказываний. Алгебра логики начала формироваться в XIX веке в трудах анг-
лийского математика Дж. Буля. Он перенёс на логику законы и правила мате-
матических действий, ввёл логические операции, предложил способ записи вы-
сказываний в символической форме.
Стремление к строгости математических рассуждений и анализ рабочего инструмента математики – логики привели к выделению ещё одного важного раздела математики – математической логики (XIX-XX вв.). Однако наиболь-
шего развития дискретная математика достигла в связи с запросами практики,
приведшими к появлению новой науки – кибернетики и её теоретической части
– математической кибернетики (XX в.).
5
1.БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
1.1.Высказывание. Логические операции. Формулы алгебры
высказываний. Приоритет операций
Предложение, относительно которого имеет смысл говорить, что его со-
держание истинно или ложно, называется высказыванием.
П р и м е р .
«Рим – столица Италии» – высказывание истинно; «2×2=5» – высказывание ложно.
Если никакая часть высказывания сама уже не является высказыванием
(или, по крайней мере, не рассматривается как таковое), то его называют эле-
ментарным. Сложное высказывание – высказывание, образованное из элемен-
тарных с помощью логических операций.
Операции над высказываниями являются предметом наиболее элемен-
тарной части математической логики, называемой логикой (или алгеброй) вы-
сказываний.
Высказывания обозначают прописными (заглавными) латинскими бук-
вами А, В, С,..., а их значения: Л – ложь, И – истина.
Операции над высказываниями
Пусть даны два произвольных высказывания А и В.
1) Отрицанием высказывания А называется высказывание, истинное то-
гда и только тогда, когда высказывание А ложно.
Обозначается A (или A, A') и читается «не А».
2) Конъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание, ис-
тинное тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.
Обозначается A B (или А&В) и читается «А и В».
3) Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание,
ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Обозначается A B и читается «А или В».
6
4) Импликацией двух высказываний А и В называется высказывание,
ложное тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.
Обозначается A B (или A B, A B ) и читается «А влечёт В» (или
«если А, то В», «из А следует В»). Высказывание А называется посылкой им-
пликации, а высказывание В – заключением импликации.
5) Эквивалентностью двух высказываний А и В называется высказыва-
ние, истинное тогда и только тогда, когда истинностные значения А и В совпадают.
Обозначается A ~ B и читается «А эквивалентно В».
6) Суммой по mod 2 двух высказываний А и В называется высказывание,
истинное тогда и только тогда, когда истинностные значения А и В различны.
Обозначается A B и читается «А сумма по модулю 2 В».
7) Штрих Шеффера – антиконъюнкция. Антиконъюнкцией двух выска-
зываний А и В называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.
Обозначается ( A | B) ( A B) и читается «А штрих Шеффера В».
8) Стрелка Пирса – антидизъюнкция. Антидизъюнкцией двух высказы-
ваний А и В называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Обозначается ( A B) ( A B) и читается «А стрелка Пирса В».
Всякое сложное высказывание, составленное из некоторых исходных высказываний посредством применения операций 1 – 8, называют формулой ал-
гебры высказываний.
Если задать значения всех переменных элементарных высказываний, то сама формула примет определенное значение.
П р и м е р .
Пусть высказывание Х принимает значение Л, высказывание Y – Л, вы-
сказывание Z – И, тогда формула A (Y (Z X )) ( X ~ Y ) примет значение
A (Л (И Л)) (И ~ И) (Л Л) И Л И И .
7
Все операции можно полностью описать таблицей истинности (табл. 1, 2).
|
Таблица 1. Операция отрицание |
|||
|
|
|
|
|
X |
|
X |
|
|
Л |
|
И |
|
|
И |
|
Л |
|
|
Таблица 2. Логические операции , , , ~, ,|,
X |
Y |
X Y |
X Y |
X Y |
X ~ Y |
X Y |
X | Y |
X Y |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
Приоритет операций представлен на рис. 1.
1
2 |
|
| |
|
|
3
4
5 |
~ |
|
Рис. 1. Приоритет операций
8
П р и м е р . Указать приоритет операций
|
|
|
|
|
5 |
1 |
3 |
2 |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
A X Y Z ~ X Z . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
П р и м е р . Построить таблицы истинности формул A( X ,Y ) X Y X |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(табл. 3) и B( X ,Y , Z ) (Y Z ) ( X ~ Y ) (табл. 4). |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Таблица 3. Таблица истинности для формулы А(X, Y) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
X |
Y |
|
X |
|
|
Y X |
|
X Y X |
|
||||||||||||
|
Л |
|
|
Л |
|
И |
|
|
|
Л |
|
Л |
|
|||||||||
|
Л |
|
|
И |
|
И |
|
|
|
И |
|
И |
|
|||||||||
|
И |
|
|
Л |
|
Л |
|
|
|
Л |
|
И |
|
|||||||||
|
И |
|
|
И |
|
Л |
|
|
|
Л |
|
И |
|
|||||||||
Таблица 4. Таблица истинности для формулы B(X, Y, Z)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
Y |
Z |
Y |
Y Z |
X |
X ~ Y |
(Y Z ) ( X ~ Y ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Л |
Л |
Л |
И |
|
|
И |
|
И |
|
|
|
Л |
|
|
Л |
||||
Л |
Л |
И |
И |
|
|
И |
|
И |
|
|
|
Л |
|
|
Л |
||||
Л |
И |
Л |
Л |
|
|
Л |
|
И |
|
|
|
И |
|
|
Л |
||||
Л |
И |
И |
Л |
|
|
И |
|
И |
|
|
|
И |
|
|
Л |
||||
И |
Л |
Л |
И |
|
|
И |
|
Л |
|
|
|
И |
|
|
Л |
||||
И |
Л |
И |
И |
|
|
И |
|
Л |
|
|
|
И |
|
|
Л |
||||
И |
И |
Л |
Л |
|
|
Л |
|
Л |
|
|
|
Л |
|
|
И |
||||
И |
И |
И |
Л |
|
|
И |
|
Л |
|
|
|
Л |
|
|
Л |
||||
1.2. Равносильность формул
Две формулы А и В называются равносильными, если они принимают
одинаковые значения на одном и том же списке переменных X1 , X 2 ,..., X n ,
входящих в А и В. Равносильность формул обозначается: A B .
Основные равносильности формул
Для любых формул А, В, С справедливы следующие равносильности:
1)А В В А (коммутативность );
2)А В В А (коммутативность );
3)А (В С) (А В) С (ассоциативность );
9
4)А (В С) (А В) С (ассоциативность );
5)А (В С) (А В) (А С) (дистрибутивность относительно );
6)А (В С) (А В) (А С) (дистрибутивность относительно );
7)( А В) А В (первый закон де Моргана);
8)( А В) А В (второй закон де Моргана);
9)А А А (идемпотентность );
10)А А А (идемпотентность );
11)А (А В) А (первая формула поглощения);
12)А (А В) А (вторая формула поглощения);
13)А Л А (первый закон тождества);
14)А И А (второй закон тождества);
15)А И И (первый закон констант);
16)А Л Л (второй закон констант);
17)А А И (первая формула дополнения);
18)А А Л (вторая формула дополнения);
19)И Л (третья формула дополнения);
20)Л И (четвертая формула дополнения);
21)А ( А В) ( А В ) (первая формула расщепления);
22)А ( А В) ( А В ) (вторая формула расщепления);
23)А А (снятие двойного отрицания).
Логические операции , , , ,~, ,|, не являются независимыми друг от друга. Одни из них можно выразить через другие так, что при этом получа-
ются равносильные формулы:
24)А ~ В ( А В) (В А) (А В) (А В) ;
25)А В А В (А В) ;
26)А В А В (А В) ;
10