!!!Экзамен зачет учебный год 25-26 / Sistema_logiki_sillogicheskoy_i_induktivnoy_Mill

сходства, которые следует и которые можно рассмотреть отдельно. Правда, существу­ ет бесчисленное множество других теорем, утверждающих сходства между явлениями; такова, например, теорема, что угол отра­ жения света равен углу его падения (ра­ венство есть лишь полное сходство по ве­ личине), или теорема, что небесные те­ ла описывают равные площади в равные времена и что периоды их вращения про­ порциональны (другой вид сходства) по­ луторным степеням их расстояний от цен­ тра силы. Эти и тому подобные положения утверждают сходства того же самого рода, как и те, которые утверждаются в теоремах математики. Различие состоит в том, что математические предложения истинны от­ носительно всех явлений без исключения или, по крайней мере, безотносительно к происхождению этих явлений, между тем как только что указанные истины касаются лишь отдельных видов явлений, возникаю­ щих некоторым особенным образом. По­ этому равенства, пропорциональности и другие сходства, существующие между та­ кими явлениями, необходимо должны ли­ бо вытекать из закона происхождения этих явлений (из обусловливающего их закона причинной связи), либо быть тождествен­ ными с этим законом. Равенство площадей, описываемых планетами в равные време­ на, вытекает из законов причин и, пока происхождение этого равенства не было выяснено, оно оставалось эмпирическим законом. Равенство углов отражения и па­ дения тождественно с законом причины: причиной служит здесь падение светово­ го луча на отражающую поверхность, и рассматриваемое равенство есть именно тот закон, согласно с которым эта причи­ на производит свои следствия. Таким об­ разом, этот класс единообразий сходства между явлениями неотделим — ни в дей­ ствительности, ни в мысли — от законов происхождения этих явлений, и приложи­ мые здесь индуктивные принципы не от­ личаются от тех, о которых мы говорили в предшествующих главах настоящей Книги.

Иначе обстоит дело с математически­ ми истинами. Законы равенства и неравен­ ства между различными частями простран­

ства или числами не имеют никакой связи с законами причинности. Положение, что угол отражения равен углу падения указы­ вает на способ действия некоторой спе­ цифической причины; но положение, что две прямые линии, пересекаясь, образуют равные вертикальные углы, истинно отно­ сительно всех таких линий и углов, ка­ кая бы причина их ни произвела. Положе­ ние, что квадраты периодических времен планет пропорциональны кубам их рас­ стояний от Солнца, есть некоторое еди­ нообразие, вытекающее из законов при­ чин (или сил), обусловливающих планет­ ные движения; положение же, что квадрат того или другого числа в четыре раза боль­ ше квадрата половины этого числа, истин­ но независимо от какой бы то ни было причины этого числа. Поэтому единствен­ ные законы сходства, которые нам надо рассмотреть независимо от законов при­ чинной связи, относятся к области мате­ матики.

§4. То же самое очевидно и относитель­ но последней из наших пяти категорий — порядка в пространстве. Пространствен­ ный порядок следствий той или другой причины (как и все остальное в этих след­ ствиях) есть результат законов этой при­ чины. Пространственный же порядок при­ чин (или, как мы его назвали, их «размеще­ ние») в калодом отдельном случае представ­ ляет собой (как и их сходство) конечный факт, для которого нельзя указать никаких законов или единообразий. Остальные об­ щие предложения относительно порядка в пространстве (которые в то же время одни только из такого рода предложений не имеют никакого отношения к причин­ ной связи) суть некоторые из геометриче­ ских истин. Это —те законы, благодаря ко­ торым мы можем, на основании простран­ ственного порядка некоторых точек, ли­ ний или поверхностей, вывести простран­ ственный порядок других точек, линий или поверхностей, связанных с первыми ка­ ким-либо известным нам образом, — вы­ вести совершенно независимо от специ­ фической природы этих точек, линий или поверхностей во всех отношениях, кроме

их положения или величины, а также не­ зависимо и от физической причины, ко­ торой они могут быть обязаны своим про­ исхождением в данном частном случае.

Таким образом, оказывается, что ма­ тематика есть единственная отрасль науки, методы которой нам остается еще иссле­ довать; причем исследованию этому мы должны посвятить тем меньшее количество времени, что мы уже значительно подвииули его в Книге И. Там мы узнали, что непосредственно индуктивных математи­ ческих истин немного: это, во-первых, ак­ сиомы, а во-вторых, некоторые предложе­ ния относительно существования, скрыто подразумевающиеся в большинстве так на­ зываемых «определений». Мы привели при этом казавшиеся нам убедительными до­ воды в пользу того, что эти первичные посылки, из которых выводятся осталь­ ные истины математики, представляют со­ бой (несмотря на всю кажущуюся очевид­ ность противоположного мнения) резуль­ таты наблюдения и опыта — короче го­ воря, основаны на свидетельстве наших чувств. Что вещи, равные одной и той же вещи, равны между собой; что две прямые линии, раз пересекшись, все более и бо­ лее расходятся между собой, — это истины индуктивные; они, как и закон всеобщей причинной связи, основываются, правда,

лишь на индукции per enumerationem simplicem —на том факте, что они постоянно оказывались истинными и ни разу не ока­ зались ложными. Но в одной из послед­ них глав мы уже видели, что такое осно­ вание имеет значение самого полного до­ казательства по отношению к закону, от­ личающемуся столь совершенной всеобщ­ ностью, как закон причинной связи; и это даже еще более очевидно по отношению к тем общим предложениям, которые за­ нимают наше внимание в настоящее вре­ мя. В самом деле, так как для восприятия истинности этих предложений в каждом отдельном случае требуется лишь простой акт усмотрения предметов в соответствую­ щем положении, то здесь никогда не мог­ ло быть даже таких случаев, которые яв­ лялись бы (не говорю уже действительны­ ми, но хотя бы) кажущимися исключени­

ями (как это в течение долгого времени имело место относительно закона причин­ ной связи). Непреложность этих истин бы­ ла признана с самого начала теоретиче­ ского мышления, и так как ум человече­ ский чрезвычайно часто имеет с ними де­ ло и уже не в состоянии теперь представ­ лять себе предметы повинующимися како­ му-либо другому закону, то их обыкновен­ но считали и до сих пор считают истина­ ми, признаваемыми в силу их собственной очевидности (или инстинктивно).

§ 5. Тот факт, что огромное количество математических истин (притом эту область в настоящее время столь же мало можно признать исчерпанной, как и когда-либо прежде) вытекает из столь небольшого чис­ ла элементарных законов, — факт этот тре­ бует, по-видимому, некоторого объяснения. С первого взгляда непонятно, каким обра­ зом может существовать такое бесконечное разнообразие истинных предложений на столь, казалось бы, ограниченной основе.

Начнем с науки о числе. Элементар­ ными, или конечными истинами этой нау­ ки служат обычные аксиомы относительно равенства, а именно: «вещи, равные од­ ной и той же вещи, равны между собой» и «от прибавления равных величин к равным получаются равные суммы» (никаких дру­ гих аксиом не требуется)4, а затем опреде­ ления различных чисел. Подобно другим определениям, и эти состоят из двух ве­ щей: из объяснения названия и из утвер­ ждения факта, причем лишь это последнее может составить первый принцип, или по­ сылку науки. Факт, утверждаемый в опре­ делении числа, есть факт физический. Все числа — два, три, четыре и т.д. — озна­ чают какие бы то ни было физические явления и обозначают некоторое физиче­ ское свойство этих явлений. Так, напри­ мер, «два» означает все пары вещей, две­ надцать — все дюжины вещей, соозначая то, что делает данные группы вещей пара­ ми или дюжинами. Элемент же этот есть нечто физическое, так как нельзя отри­ цать, что два яблока физически отличимы от трех яблок, две лошади — от одной ло­ шади и т. д.: нельзя отрицать того, что эти

обычный способ его образования) мож­ но получить соединением группы, назынасмой тысячью камней, с группой, на­ мываемой семьюстами камнями, затем, с группой, называемой двадцатью камнями, п наконец, с группой, называемой восе­ мью камнями.

Обратное предложение: «кубический корень 1728 есть 12» утверждает, что этот больший агрегат можно снова разложить на те двенадцать дюжин кучек из двенадца­ ти камней каждая, из которых он состоит.

Способов образования всякого чис­ ла существует бесчисленное множество; но если мы знаем один способ образования каждого данного числа, то все остальные можем определить дедуктивно. Если мы

мы не включим всех чисел избранного на­ ми ряда (надо только, чтобы для каждого числа был указан действительно особый способ образования, который не возвра­ щал бы нас обратно к прежним числам, а вводил какое-либо новое число), тогда мы имеем ряд предложений, на основа­ нии которых можем умозаключать ко всем другим способам образования этих чисел друг из друга. Установив цепь индуктив­ ных истин, связующих все числа данного ряда, мы можем определить способ, каким каждое из этих чисел образуется из каждо­ го другого, — просто переходя от одного из членов цепи к другому. Так, если нам известны, положим, лишь следующие спо­ собы образования: 6 = 4 + 2, 4 = 7 —3, 7 = 54-2, 5 = 9 —4, то мы можем опреде­ лить, как 6 образуется из 9. Действительно, 6 = 44 - 2 = 7 - 3 + 2 = 5 + 2 - 3 + 2 = = 9 —4 + 2 —3+2. Следовательно, 6 можно получить из 9, отнимая 4 и 3 и прибавляя 2 и 2. Если нам, сверх того, известно, что 2 + 2 = 4, то мы получаем 6 из 9 более простым способом: прямо отнимая 3.

Таким образом, для определения всех различных способов образования каждо­ го числа достаточно знать один из этих способов. А так как ум всего легче усваи­ вает и удерживает однообразные и пото­ му простые вещи, то, очевидно, выгоднее избрать такой способ составления, кото­

рый был бы одинаков для всех чисел: вы­ годнее установить соозначение названий чисел на основании какого-либо одного единообразного принципа. Этим преиму­ ществом и обладает тот способ, при помо­ щи которого построена наша теперешняя номенклатура чисел. Сверх того, он еще удачно указывает на два из способов об­ разования всякого числа. А именно, с од­ ной стороны, всякое число является здесь образованным посредством прибавления одной единицы к ближайшему из мень­ ших чисел и на такой способ образова­ ния числа указывает его место в ряду дру­ гих чисел. С другой стороны, всякое число является здесь образованным посредством сложения известного числа единиц, мень­ шего десяти, и известного числа агрегатов, из которых каждый равен одной из после­ довательных степеней десяти; этот способ образования числа находит себе выраже­ ние как в названии числа, так и в его обо­ значении посредством цифр.

Типом дедуктивной науки делает ариф­ метику удобство применения в ней столь широкого закона, как «суммы равных рав­ ны», или (выражая тот же самый принцип в его менее обычной, но более характер­ ной форме) «все, что слагается из частей, слагается из частей этих частей». Истина эта, очевидная для наших чувств во всех случаях, когда к их свидетельству можно прибегнуть, и настолько общая, что она простирается на всю природу, охватывая все виды явлений (так как все они допус­ кают счисление), должна считаться индук­ тивной истиной (или законом природы) самого высшего порядка. Всякое арифме­ тическое действие есть приложение этого закона или других, выводимых из этого; на него мы опираемся при всех наших вычислениях. Наша уверенность в том, что пять и два составляют семь, основана (по­ мимо определений названных чисел) на этом индуктивном законе. Мы приходим к такой уверенности (как это известно вся­ кому, кто помнит, каким образом он впер­ вые дошел до нее), прибавляя к 5 по од­

§ 6. Как ни бесконечно количество тех истинных предложений, какие можно по­ строить относительно отдельных чисел, все-таки на основании одних этих предло­ жений нельзя составить себе надлежащего представления о том, насколько широки истины, входящие в состав науки о числе. Такие предложения, о каких мы говори­ ли сейчас, наименее общи из всех истин, касающихся чисел. Правда, даже и они распространяются на всю природу: свой­ ства числа «четыре» истинны относитель­ но всех предметов, делимых на четыре рав­ ные части, а такое деление (в действитель­ ности или в идее) допускают все предметы. Но те предложения, из которых состоит ал­ гебра, истинны уже не относительно того или другого отдельного числа, а относи­ тельно всех чисел, т. е. не только отно­ сительно всех вещей, допускающих какоелибо особое деление, а относительно всех вещей, какие вообще могут быть делимы

иследовательно обозначаемы каким бы то ни было числом.

Так как у различных чисел не может быть совершенно одинаковым ни один из способов их образования, то будет неко­ торого рода парадоксом сказать, что все предложения, какие можно составить от­ носительно чисел, касаются способов об­ разования этих чисел из других чисел, и в то же время — что существуют предло­ жения, истинные относительно всех чи­ сел. Но этот самый парадокс ведет нас к настоящему принципу обобщения свойств чисел. Два различных числа нельзя обра­ зовать одним и тем же приемом из одних

итех же чисел, но их можно образовать одним и тем же приемом из различных чисел; так, девять образуется из трех, если умножить это последнее число само на се­ бя: при помощи такого же процесса шест­ надцать образуется из четырех. Таким об­ разом возникает классификация способов образования, или (употребляя принятое у математиков выражение) классификация функций. Всякое число, с точки зрения его составления из какого-либо другого чис­ ла, называется «функцией» этого послед­ него; поэтому функций столько же родов, сколько есть способов образования чисел.

Простые функции немногочисленны, так как большинство функций образуется ли­ бо путем сочетания отдельных действий, образующих простые функции, либо пу­ тем последовательных повторений какоголибо одного из этих действий. Простые функции какого-либо числа х все сводят­ ся к следующим формам:

ха, tyx, log„ X,

атакже к этим самым выражениям, толь­ ко измененным перестановкой х на место

аи а на место я, если такая переста­ новка меняет результат. Сюда, быть может, надо прибавить еще sin х и arcsin х. Все другие функции х образуются подстанов­ кой какой-либо одной или более простых функций на место х или а и выполнени­ ем над ними тех же самых элементарных действий.

Для того чтобы составлять общие умо­ заключения относительно функций, нам нужна номенклатура, которая дала бы нам возможность выражать всякие два числа при помощи таких названий, которые, не определяя того, что это за числа, указыва­ ли бы, какую функцию другого представ­ ляет каждое из них, т. е., иными слова­ ми, выясняли бы способ образования их друг из друга. Для этого и служит та систе­ ма общих выражений, которая называется «алгебраическим обозначением». Выраже­ ния а и а2 4- За означают: первое — лю­ бое число, второе — число, образованное из первого некоторым особым приемом. Выражения а, 6, п и (а 4- Ь)п означают любые три числа и еще четвертое, извест­ ным способом из них образованное.

Общую проблему алгебраического счисления можно выразить следующим об­ разом: если F будет функция данного чис­ ла, то найти, какой функцией будет F от какой угодно другой функции этого же числа. Так, например, двучлен а 4- Ъ есть функция двух его частей: а и Ь\ части эти,

всвою очередь, суть функции двучлена

а4- Ь\ выражение (а 4- Ь)п есть известная функция этого двучлена; какой оно будет функцией от а и Ь, т. е. двух частей этого

днучлена? Ответом на этот вопрос служит теорема бинома. Формула

11 * 2

ит.д. показывает, каким образом можно получить число, получающееся от умноже­ ния а+Ь самого на себя п раз — без этого умножения, непосредственно из а, b и п. Такой же характер имеют и все вообще тео­ ремы науки о числе. Они утверждают тож­ дество результатов при различных спосо­ бах образования. Они устанавливают, что некоторый способ составления числа из х

инекоторый способ составления его из из­ вестной функции х дают одно и то же число.

Сверх этих общих теорем и формул, остальное содержание алгебры состоит в решении уравнений. Но решение уравне­ ния есть также некоторая теорема. Если мы имеем уравнение

х2 + ах = Ь,

то решение этого уравнения (а именно,

х = —Уг а ± л/Ч^а1+ Ь) есть общее пред­ ложение, которое можно считать ответом на такой вопрос: если b есть известная функция от г и а (именно х2 + ах), то какой функцией от 6 и а будет ж? Таким образом, решение уравнений есть лишь особый вид выраженной выше общей про­ блемы. Проблема эта такова: дана некото­ рая функция; какую функцию представляет она от какой-либо другой функции? При решении уравнений вопрос идет о том, какой функцией от одной из своих соб­ ственных функций является данное число.

Такова задача и цель алгебраического счисления. Что же касается его приемов, то всякому известен их вполне дедуктив­ ный характер. Доказывая ту или другую алгебраическую теорему или решая какоелибо уравнение, мы переходим от datum (данного) к quaesitum (искомому) путем чистой силлогизации, причем единствен­ ными посылками, какие мы вводим сверх первоначальных предположений, служат уже упомянутые основные аксиомы: что

«вещи, равные одной и той же вещи, рав­ ны между собой» и что «суммы равных вещей равны». На каждом шагу в течение доказательства или счисления мы прилага­ ем либо ту или другую из этих истин, либо истины, из них выводимые: например, что разности, произведения и т.д. равных чи­ сел равны между собой.

Не соответствовало бы рамкам наше­ го трактата, да и не было бы необходимо для поставленной в нем цели идти дальше в анализе алгебраических истин и прие­ мов; сверх того, в этом представляется тем меньше нуиоды, что такой анализ в весьма значительной степени выполнен уже дру­ гими писателями. Алгебра Пикока и Doc­ trine ofLimits д-ра Юэля дают весьма много интересного в этом отношении. Глубокие трактаты настоящего математика-филосо­ фа, профессора де-Моргана, должны бы­ ли бы служить предметом изучения для всякого, кто желает усвоить себе доказа­ тельства математических истин и смысл более сложных процессов счисления. Точ­ но так же, рассуадения Конта в его Cours de Philosophie Positive, посвященные филосо­ фии высших отделов математики, принад­ лежат к числу тех многих ценных вкладов, какими философия обязана этому выдаю­ щемуся мыслителю.

§ 7. Если крайняя общность законов чис­ ла и их малая доступность не столько для ощущения (sense), сколько для зрительно­ го и осязательного воображения несколько затрудняют усилия абстрактного мышле­ ния представить себе эти законы действи­ тельными физическими истинами, полу­ чаемыми путем наблюдения, то по отно­ шению к законам протяжения подобной трудности не существует. Факты, выража­ емые в этих законах, отличаются особен­ ной доступностью для наших чувств и воз­ буждают в воображении чрезвычайно яс­ ные образы. Что геометрия есть в строгом смысле естественная наука, —это, бесспор­ но, люди признавали бы во все времена, если бы не было заблуждений, обусловли­ ваемых двумя обстоятельствами. Одно из них — это то уже отмеченное характери­ стическое свойство геометрических истин,

более расходятся менаду собой. Это пред­ положение (обнимающее собой аксиому Евклида, что две прямые линии не могут заключать пространства, и идущее далее :яой аксиомы) столь же необходимо и в геометрии и столь же очевидно (т. е. оснопывается на столь же простом, привыч­ ном и всеобщем наблюдении), как и вся­ кая другая аксиома. Мы принимаем также, что прямые линии расходятся между со­ бой в различной степени, иными словами

—что существуют такие вещи, как углы,

ичто они могут быть равными или не­ равными. Мы принимаем, что существует такая вещь, как круг, и что все его радиу­ сы равны; что существуют такие вещи, как эллипсы, и что суммы фокусных расстоя­ ний для каждой точки эллипса равны; что существуют такие вещи, как параллельные линии, и что эти линии везде находятся друг от друга на равном расстоянии5.

§ 8. Не одному любопытству, но и науч­ ному интересу удовлетворяет вопрос о том, какая именно особенность физических ис­ тин, подлежащих ведению геометрии, поз­ воляет все их выводить из столь незна­ чительного числа первоначальных посы­ лок: почему, исходя из какого-либо одно­ го характеристического свойства всякого разряда явлений и пользуясь, кроме этого свойства, всего только двумя или тремя об­ щими истинами относительно равенства, можем мы переходить от признака к при­ знаку, пока не получим большого коли­ чества производных истин, по-видимому, совершенно несходных с теми, с которых мы начали?

Объясняется этот замечательный факт, по-видимому, следующими обстоятельства­ ми. Во-первых, все вопросы о положении и фигуре можно свести к вопросам о вели­ чине. Мы определим положение и фигуру всякого предмета, если определим положе­ ние достаточного числа его точек; поло­ жение же всякой точки можно определить на основании величины трех прямоуголь­ ных координат, т. е. перпендикуляров, опу­ щенных из этой точки на три произвольно взятые под прямыми углами друг к дру­ гу плоскости. Путем превращения всех во­

просов о качестве в вопросы о количестве геометрия и сводится к одной единствен­ ной проблеме — к измерению величин, т. е. к определению существующих между ними равенств. Но в силу одной из общих аксиом, всякое равенство, раз оно уста­ новлено, служит доказательством стольких других равенств, сколько существует дру­ гих вещей, равных той или другой из двух данных равных величин; в силу другой из этих аксиом, всякое установленное ра­ венство служит доказательством равенств стольких пар величин, сколько их мож­ но получить при помощи многочисленных действий, сводящихся к прибавлению рав­ ных величин к себе самим или к другим равным величинам. Принимая во внима­ ние эти соображения, мы перестаем удив­ ляться тому, что, чем более та или другая наука имеет дело в равенством, тем в боль­ шем изобилии могут применяться в ней признаки признаков, и что науки о числе

ипротяжении, имеющие дело почти ис­ ключительно с равенством, должны быть наиболее выводными (или дедуктивными) из всех наук.

Сверх того, в числе главных законов науки о пространстве или протяжении есть два или три необыкновенно пригодных для того, чтобы сделать одно положение или величину признаком другого положе­ ния или величины и тем в сильной сте­ пени способствовать дедуктивному харак­ теру этой науки. Прежде всего, величины замкнутых пространств — как поверхно­ стей, так и объемов —вполне определяют­ ся величиной линий и углов, ограничива­ ющих эти пространства. Далее, длина вся­ кой линии — как прямой, так и кривой — измеряется (при наличии некоторых дру­ гих данных) опирающимся на нее углом

иvice versa (обратно). Наконец, угол, об­ разуемый всякими двумя прямыми линия­ ми у недоступной точки, измеряется угла­ ми, какие каждая из этих линий образует с некоторой произвольно нами взятой тре­ тьей прямой линией. Основываясь на этих общих законах, измерение каких бы то ни было линий, углов и пространств мож­ но производить при помощи измерения одной только прямой линии и достаточ­

ного числа углов, как действительно и по­ ступают при тригонометрической съемке плана той или другой местности. Возмож­ ность такого измерения влечет за собой много выгод, так как точное измерение длинных прямых линий всегда бывает за­ труднительно, часто даже невозможно; из­ мерять же точно углы весьма легко. Три приведенных выше обобщения дают нам столь легкие способы косвенного измере­ ния величин (указывая такие известные нам линии и углы, которые служат призна­ ками величины неизвестных линий и уг­ лов, а потому и замыкаемых ими про­ странств), что легко понять, каким образом на основании немногих данных мы можем найти величину неопределенного множе­ ства линий, углов и пространств, которые нам нелегко было бы или вовсе нельзя бы­ ло бы измерить более непосредственным способом.

§ 9. Таковы те замечания, которые я счи­ тал необходимым сделать здесь относи­ тельно законов природы, составляющих специальный предмет наук о числе и про­ тяжении. Всем известно, какую огромную роль играют эти законы в придании де­ дуктивного характера другим отделам есте­ ственных наук. И в этом нет ничего удиви­ тельного, если принять во внимание, что все причины действуют согласно с мате­ матическими законами. Следствие всегда зависит (или представляет собой ту или другую функцию) от количества деятеля, а обыкновенно также и от его положе­ ния. Мы не можем поэтому умозаключать относительно причинной связи, не вводя на каждом шагу соображений о количестве и протяжении; если при этом природа яв­ лений позволяет нам добыть достаточно точные числовые данные, то законы коли­ чества становятся могущественным оруди­ ем для исчисления будущего следствия или прежней причины. Что и во всех других науках (как это имеет место в геометрии) вопросы о качестве едва ли когда бывают вполне независимы от вопросов о количе­ стве, — это можно видеть на самых обы­ денных явлениях. Когда, например, на па­ литре живописца смешано несколько кра­

сок, цвет смеси всецело определяется от­ носительным количеством каждой из них.

Внастоящем случае я должен ограни­ читься сделанным намеком на те общие причины, в силу которых математические принципы и процессы получают такое гос­ подствующее значение в дедуктивных на­ уках, допускающих точные числовые дан­ ные. Читателя, который пожелал бы ближе познакомиться с этим предметом, я отсы­ лаю к первым двум томам систематическо­ го сочинения О. Конта.

Втом же сочинении, особенно в его третьем томе, мы находим обстоятельный разбор вопроса о границах приложения математических принципов к разработке других наук. Принципы эти явно неприло­ жимы в тех случаях, когда причины, от ко­ торых зависит тот или другой класс явле­ ний, настолько мало доступы нашему на­ блюдению, что мы не можем при помощи соответствующей индукции определить их числовых законов. Они неприложимы так­ же и тогда, когда причины настолько мно­ гочисленны и так перепутаны между со­ бой, что, даже если предположить их зако­ ны известными, то и тогда вычисление их совокупного следствия превзошло бы ре­ сурсы математики в ее теперешнем или ве­ роятном будущем состоянии. Они непри­ ложимы, наконец, и тогда, когда сами при­ чины находятся в состоянии непрерывно­ го колебания, как в физиологии, а еще более (если только это вообще возмож­ но) в общественных науках. Математиче­ ское решение физических вопросов ста­ новится все более и более трудным и не­ совершенным, по мере того как вопросы эти теряют свой абстрактный и гипоте­ тический характер и приближаются к той сложности, какую мы находим в действи­ тельной природе. Ввиду этого, вне сферы явлений астрономических и представляю­ щих с ними наиболее близкую аналогию, математической точности можно достиг­ нуть обыкновенно лишь «в ущерб реаль­ ности исследования». Да и в области аст­ рономии, «несмотря на удивительную про­ стоту ее математических элементов, наш

слабый ум оказывается неспособным разо­ браться как следует в обусловливающих

астрономические явления логических со­ четаниях законов, как только мы попыта­ емся одновременно рассматривать более двух или трех существенных влияний»6. Замечательный пример этого представля­ ет проблема о трех телах, на которую мы уже не раз ссылались: для полного реше­ ния столь простого сравнительно вопроса оказались тщетными усилия наиболее глу­ боких математиков. Этот факт дает нам возможность представить себе, насколько призрачна была бы надежда на успеш­ ное приложение математических принци­ пов к явлениям, зависящим от взаимодей­ ствия бесчисленного количества мельчай­ ших материальных частиц, каковы явле­ ния химические, а еще более физиоло­ гические. По сходным с этими причинам принципы математики остаются неприло­ жимыми к еще более сложным исследова­ ниям, предметом которых служат явления общественной и политической жизни.

Значение математического образова­ ния в качестве подготовки к этим наибо­

лее трудным исследованиям заключается в применении не математических положе­ ний, а математического метода. Матема­ тика всегда останется наиболее совершен­ ным типом дедуктивного метода вообще, и приложение математики к дедуктивным отделам естественных наук представляет собой единственную школу, где философы с успехом могут научиться наиболее труд­ ной и важной части своего искусства — употреблению законов более простых яв­ лений для объяснения и предсказания за­ конов явлений более сложных. Этих сооб­ ражений вполне достаточно для того, что­ бы видеть в математической дисциплине необходимую основу действительного на­ учного воспитания и (согласно с изрече­ нием, принадлежащим —согласно старому, но недостоверному преданию — Платону) считать человека, который &уеб)цётрг)т6с e o t l («не изучал геометрии»), лишенным одного из наиболее существенных условий для успешного занятия высшими отделами философии.