!!!Экзамен зачет учебный год 25-26 / Sistema_logiki_sillogicheskoy_i_induktivnoy_Mill

причины. Впоследствии было установле­ но дедуктивным путем, что причиной этой служит разрежение воздуха, обусловлива­ емое происходящим в течение дня повы­ шением температуры.

§ 5. После этих общих замечаний о при­ роде случайности мы можем теперь рас­ смотреть, каким образом получается уверен­ ность в том, что совпадение двух явлений, наблюдавшееся известное количество раз, не случайно, а обусловливается некоторой причинной связью и поэтому должно счи­ таться одним из единообразий природы:

аименно (пока это соединение не объяс­ нено a priori) эмпирическим законом.

Предположим самый простой случай: явление В никогда не наблюдалось иначе, как в соединении с А. Даже тут вероятность существования связи между А и В будет измеряться не всем числом случаев, в ко­ торых они оказались вместе, а лишь из­ лишком этого числа над тем числом сов­ падений между ними, какое обязано своим происхождением абсолютной повторяемо­ сти А. Если, например, А существует всегда,

апотому сосуществует со всяким без ис­ ключения явлением, то никакое число слу­ чаев его сосуществования с В не может до­ казать связи между ними, как мы это и ви­

дели на примере неподвижных звезд. Если А встречается настолько часто, что присут­ ствие его можно предположить в половине всех случаев, а потому и в половине слу­ чаев присутствия В, то лишь излишек над этой половиной мог бы быть признан до­ казательством сосуществования какой-ли- бо связи меэду А и В.

К вопросу о том, сколько именно сов­ падений можно, при выводе средней ве­ личины из значительного количества опы­ тов, относить к одной случайности, — при­ соединяется еще другой вопрос: а имен­ но, насколько значительного уклонения от среднего можно ожидать от действия од­ ной случайности, когда число взятых слу­ чаев меньше, чем это требуется для получе­ ния надлежащего среднего вывода? — Нам следует рассмотреть не только то, каким оказывается в конце концов общий резуль­ тат случайностей, но также и то, каковы крайние пределы тех уклонений от этого общего результата, которых можно бывает ожидать в результате какого-либо меньше­ го количества опытов.

Рассмотрение последнего вопроса, а так­ же дальнейшее исследование первого при­ надлежат уже той части математики, которая называется учением о случайностях, или — более громко — «теорией вероятностей».

§ 1. «Вероятность, — говорит Лаплас *, — п ш ан а частью с нашим неведением, чапы о — с нашим знанием. Мы знаем, что из числа трех или более фактов или со­ бытий должно случиться одно, и притом только одно; но у нас нет никаких дан­ ных, которые заставляли бы нас думать, что преимущественно перед другими слу­ чится именно то, а не другое из них. Ввиду такой неопределенности мы и не можем с уверенностью высказаться относительно того, какое именно из этих событий бу­ дет иметь место на самом деле. Можно только с уверенностью сказать, что каж­ дое произвольно взятое из этих событий не наступит, так как мы имеем несколько одинаковых возможностей против его на­ ступления и только одну в пользу его.

Теория случайностей состоит в том, что нее факты одного и того же рода сводятся к известному числу случаев, одинаково воз­ можных (т. е. таких, относительно суще­ ствования которых мы должны высказать­ ся одинаково неопределенно), а затем опре­ деляется число случаев, благоприятных для того события, вероятность которого хотят определить. Отношение этого последнего числа к числу всех возможных случаев слу­ жит мерой вероятности, которая выражает­ ся, таким образом, дробью, имеющей сво­ им числителем число случаев, благопри­ ятных для данного события, а знаменате­ лем — число всех возможных случаев».

Следовательно, по Лапласу, для вычис­ ления случайностей необходимы две вещи: 110-первых, мы должны знать, что из не­ скольких событий какое-либо одно долж­ но случиться непременно, — притом не более, чем одно; а во-вторых, мы не долж­ ны знать, не должны иметь никакого осноилния ожидать, что одно из этих событий случится преимущественно перед другим. По этому поводу замечали, что двух на­

званных условий недостаточно и что Ла­ плас в общем теоретическом изложении упустил из виду необходимую часть того основания, на котором зиэвдется учение о случайности. Говорили, что, для того что­ бы иметь право назвать два события оди­ наково вероятными, для нас недостаточно знания, что то или другое из них долж­ но случиться, и отсутствия оснований для предположения относительно того, кото­ рое именно из них случится. Опыт должен показать еще, что оба эти события встреча­ ются одинаково часто. Почему, подбрасы­ вая вверх монету в полпенса, мы считаем одинаково вероятным и то, что она упадет вверх «орлом», и то, что она ляжет «реш­ кой»? Потому, что, как нам известно, при сколько-нибудь значительном числе бро­ саний как «орел», так и «решка» выпадают почти одинаково часто, и чем большее ко­ личество раз мы бросаем монету, тем это равенство становится совершеннее. Узнать это мы можем либо при помощи специ­ ального эксперимента, либо на основании наших ежедневных наблюдений над собы­ тиями, имеющими такой же в общем ха­ рактер, либо, наконец, дедуктивным путем

— посредством умозаключения из законов механики, имеющих место в случае сим­ метрического тела, на которое действуют силы, неопределенно видоизменяющиеся в количестве и направлении. Одним сло­ вом, мы можем знать это либо из изучения самого этого явления, либо на основании нашего общего знания о природе. Но тем или иным путем мы должны знать это пре­ жде, чем получим право называть эти два события одинаково вероятными; и если бы мы не знали этого, то, ставя за одну из сторон сумму, одинаковую со ставкой про­ тивника, мы в такой же степени поступали бы наугад, как и в том случае, если бы на­ ша ставка была больше его ставки.

Такого воззрения держался и я в пер­ вом издании этого сочинения. Но впослед­ ствии я убедился, что теория случайностей, как ее понимает Лаплас и вообще матема­ тики, не заключает в себе того основного заблуждения, какое я ей приписывал.

Мы должны помнить, что вероятность того или другого события не есть качество самого этого события, а лишь название для той степени основательности, с какой мы или кто-нибудь другой можем его ожи­ дать. Вероятность данного события, как она представляется одному лицу, отлична от вероятности того же самого события для другого лица или даже для того же са­ мого лица, раз оно получит новые данные относительно этого события. Вероятность для меня того, что тот или другой человек, относительно которого я не знаю ничего, кроме его имени, умрет в течение настоя­ щего года, совершенно меняется, если мне затем скажут, что этот человек находится в последнем периоде чахотки. Однако это новое сведение не влечет за собой никакой перемены ни в самом событии, ни в тех причинах, от которых оно зависит. Само по себе всякое происшествие достоверно, а не вероятно: если бы мы знали все, то нам было бы положительно известно, случится оно или не случится. Вероятность же его для нас обозначает ту степень основатель­ ности, с какой наши наличные сведения дают нам право ожидать, что данное собы­ тие будет иметь место в действительности.

Принимая это во внимание, надо, как мне кажется, допустить, что даже и в том случае, когда у нас нет совершенно ни­ каких сведений, которыми мы могли бы руководиться в наших ожиданиях, кроме знания того, что все случающееся долж­ но представлять собой одну из известного числа возможностей, — даже и тогда мы можем все-таки составить разумное сужде­ ние о том, что одно какое-либо предполо­ жение более вероятно для нас, чем другое. Если притом с имеющим случиться проис­ шествием у нас связан какой-либо интерес, то мы всего лучше позаботимся об этом интересе, если будем поступать согласно с тем сужением, какое мы таким образом можем себе составить.

§ 2. Положим, нам надо вынуть один шар из ящика, относительно которого мы зна­ ем только то, что в нем содержатся исклю­ чительно черные и белые шары. Нам из­ вестно, что шар, который мы вынем, будет либо черным, либо белым; но мы не имеем никакого основания ожидать скорее чер­ ного шара, чем белого, или скорее белого, чем черного. И если нам приходится вы­ бирать между этими цветами, чтобы поста­ вить какую-либо сумму на один из них, то, с точки зрения благоразумия, совершенно безразлично, на каком цвете мы остано­ вимся; мы должны здесь действовать совер­ шенно так, как если бы нам заранее было известно, что в ящике находится равное количество черных и белых шаров. Но хо­ тя в этом случае мы можем поступить и так, и иначе, однако наше поведение может вовсе не основываться на предположении, что в ящике действительно находится рав­ ное количество шаров того и другого цве­ та. Напротив, мы могли бы даже иметь до­ стоверные сведения, что в ящике 99 шаров одного цвета и только один шар другого. И все-таки, если нам не скажут, какого цве­ та один шар и какого — девяносто девять, то и белый, и черный шары будут для нас одинаково вероятными; у нас не будет ни­ какого основания ставить скорее на один цвет, чем на другой: выбор мевду ними будет безразличен, другими словами, бу­ дет иметь одинаково случайный характер.

Но предположим, что в ящике нахо­ дятся шары не двух, а трех цветов: белого, черного и красного, и что нам совершен­ но неизвестно числовое отношение между этими группами. У нас не может быть тогда никакого основания ожидать шара одного цвета предпочтительно перед обоими дру­ гими, и если бы нам пришлось держать па­ ри, то для нас было бы одинаково безраз­ лично, на какой цвет поставить — на крас­ ный, белый или черный. Но было ли бы для нас безразлично держать пари за какойнибудь один цвет — например, белый — или против него? Конечно, нет. Из того уже факта, что черный и красный цвета, калодый в отдельности, столь же вероятны для нас, как и белый, следует, что два эти цвета вместе должны быть вдвое вероятнее

белого. В этом случае мы ожидали бы ско­ рее небелого шара, чем белого, и притом настолько, что поставили бы на не-белого дна против одного. Правда, мы могли бы у:шать, что в ящике больше белых шаров, чем черных и красных вместе; в таком случае мы увидели бы, что наше пари неиыгодно для нас. Но, с другой стороны, мы могли бы узнать и то, что в ящике больше красных шаров, чем черных и белых, или больше черных шаров, чем белых и крас­ ных, — и тогда более близкое ознакомле­ ние с числом шаров показало бы нам, что паше пари выгоднее, чем мы думали. При существующем же состоянии нашего зна­ ния разумная вероятность против белого шара равна двум шансам против одного,

итакая вероятность может быть положена

иоснову нашего поведения. Ни один здраномыслящий человек не поставил бы рав­ ного со своим противников заклада в поль­ зу белого цвета против черного и красно­ го; но выставить такой заклад против од­ ного черного или одного красного не бы­ ло бы неблагоразумно.

Таким образом, обычная теория ис­ числения случайностей оказывается состо­ ятельной. Даже в том случае, когда нам неизвестно ничего, кроме числа взаимно друг друга исключающих возможностей, и когда мы находимся в полном неведении относительно их сравнительной повторя­ емости, — даже и тогда мы можем иметь основания (и притом численно определи­ мые), которые заставят нас руководиться скорее одним предположением, чем дру­ гим. В этом и заключается смысл вероят­ ности.

§ 3. Принцип, на котором основывается

итаком случае наш выбор, достаточно ясен. Это — тот очевидный принцип, что, ко­ гда все случаи какого-либо рода распре­ делены между несколькими видами, то ненозможно, чтобы каждый из этих видов содержал большинство всех случаев рода; напротив, должно существовать большин­ ство против каледого отдельного вида, кро­ ме (самое большее) одного. И если какойлибо один вид обнимает больше случаев, чем сколько получится, если разделить все

случаи на общее число видов, то на долю всех других видов вместе должно прийтись меньше, чем сколько пришлось бы при равномерном распределении случаев. Если допустить эту аксиому и принять, что у нас нет никакого основания сказать, что один какой-нибудь вид имеет больше, чем дру­ гие, шансов выйти за пределы среднего ко­ личества, то отсюда следует, что мы не мо­ жем разумно предположить этого ни об од­ ном виде. Мевду тем подобное предполо­ жение мы сделаем, раз поставим на какойлибо вид такую ставку, которую ставка про­ тивника будет превышать в меньшее чис­ ло раз, чем сколько есть остальных видов. Следовательно, даже в том крайнем случае исчисления вероятностей, где совершен­ но не играет роли знакомство с условия­ ми данного факта, логическим основанием исчисления служит все-таки наше знание (какое мы имеем в данный момент) тех за­ конов, от которых зависит повторяемость различных случаев. Только в данном случае знание это ограничивается положениями, которые, будучи всеобщими и имея значе­ ние аксиом, не требуют изучения данного вопроса или каких-либо соображений, вы­ текающих из его специфической, особой природы.

Но кроме таких случаев (каковы осно­ ванные на случайности игры), самая цель которых требует неведения, а не знания, я не могу представить себе ни одного слу­ чая, в котором мы могли бы удовлетво­ риться подобной (т. е. основанной на абсо­ лютном минимуме знания того, что будет иметь место) оценкой случайностей. Ясно, что в случае с цветными шарами само­ го слабого основания для предположения того, что белых шаров в действительности больше, чем шаров каздого из двух других цветов, было бы достаточно для того, что­ бы подорвать все вычисления, какие мы делали раньше, при полном безразличии шансов цветов. Этот новый элемент сде­ лал бы нас более осведомленными, бла­ годаря чему вероятности стали бы для нас другими, сравнительно с теми, какими они были раньше; и при оценке этих новых вероятностей нам надлежало бы руковод­ ствоваться совершенно другим рядом дан­

ных, основанных уже не на простом под­ счете возможных предположений, а на спе­ циальном знании фактов. Мы всегда долж­ ны были бы стараться получить такие дан­ ные, и их можно было бы добыть при всех исследованиях, раз только эти ис­ следования не касаются вопросов, лежа­ щих вне области как наших познаватель­ ных способностей, так и наших практиче­ ских целей. Если иногда эти данные бы­ вают не особенно ценны, все-таки лучше иметь хотя их, чем не иметь вовсе никаких сведений2.

Очевидно затем, что даже в том слу­ чае, когда вероятности обусловливаются наблюдением и опытом, самое небольшое усиление данных (путем лучших наблю­ дений или более полного исследования специальных обстоятельств разбираемого случая) имеет больше значения, чем самое детальное исчисление вероятностей, осно­ ванных на данных в их прежнем, менее совершенном состоянии. Пренебрежение этим очевидным соображением дало на­ чало тем неудачным приложениям исчис­ ления вероятностей, которые сделали это исчисление настоящим позором матема­ тики. Достаточно упомянуть о приложении его к установлению достоверности свиде­ телей и правильности вердиктов, выноси­ мых присяжными. Что касается достовер­ ности свидетелей, то здравый смысл гово­ рит, что для всех людей (или даже для из­ вестного класса их) нельзя отыскать какойлибо общей средней их правдивости и дру­ гих качеств, необходимых для истинности их показаний. Но даже если бы это и бы­ ло возможно, то применение этой средней для такой цели, как оценка свидетельских показаний, указывает на неправильное по­ нимание значения средних величин: такие величины могут, правда, предохранять за­ интересованных лиц против неправильно­ го взгляда на общий результат значитель­ ного количества случаев, но они имеют чрезвычайно малую ценность в качестве оснований для ожидания в каждом отдель­ ном случае, — если только мы не имеем дела с таким вопросом, где значительное большинство отдельных случаев не осо­ бенно расходится со средней арифмети­

ческой величиной. Для определения досто­ верности того или другого свидетеля люди, обладающие здравым смыслом, не станут применять столь грубый прием (хотя бы он даже и допускал проверку), как уста­ новление того отношения между числом истинных и ложных показаний, какое, как можно предположить, имело место в тече­ ние жизни данного свидетеля: они будут опираться в своих заключениях на то, на­ сколько его показания согласны между со­ бой, каково его поведение при перекрест­ ном допросе и в каком отношении стоит дело к его собственным интересам, каковы его пристрастия и его умственные способ­ ности.

Подобным же образом, относительно присяжных, а также других трибуналов не­ которые математики (исходя из того по­ ложения, что приговор каждого судьи или присяжного имеет, хотя бы и немногим, но все-таки больше шансов быть справед­ ливым, чем несправедливым) заключили, что существующая для известного числа лиц возможность сойтись на неправиль­ ном вердикте уменьшается по мере уве­ личения самого числа лиц, так что, сто­ ит только сделать число судей достаточ­ но большим, —и правильность приговора может стать почти несомненной. Я не бу­ ду уже ничего говорить о том, что здесь не обращается внимания на то влияние, какое будет иметь на нравственное состоя­ ние судей увеличение их числа: на возмож­ ное при этом уничтожение личной ответ­ ственности каждого из них и ослабление тех умственных усилий, которые каждый из них прилагает к делу. Я укажу только на ошибку — умозаключать от охватываю­ щей широкое поле средней нормы к таким случаям, которые необходимо должны зна­ чительно отличаться от всякой средней. Может быть и справедливо, что во вся­ ком процессе мнение каждого из судей чаще правильно, чем ошибочно; но при этом забывают, что во всех случаях, кроме простейших, т. е. во всех таких, где дей­ ствительно имеет большое значение во­ прос о качестве трибунала, имеется налицо вероятность обратного положения. Сверх того, если причина ошибки — будет ли

она корениться в сложности случая или в каком-нибудь обычном предрассудке ли­ бо психологическом недостатке — оказала с нос действие на одного судью, то в выс­ шей степени вероятно, что она таким же образом повлияет и на других судей (или, но крайней мере, на большинство их), так что, по мере увеличения их числа, бу­ дет становиться вероятнее не правильное, а ошибочное решение.

Такие ошибки часто и совершают те, кто, познакомившись с формулами, давае­ мыми алгеброй для оценки случайностей при предположениях сложного характера, предпочитают вычислять с помощью этих формул вероятности, как они существу­ ют для лица, наполовину осведомленного с делом, нежели искать лучших сведений. Иреэде чем применять учение о случай­ ностях для какой-либо научной цели, на­ до установить основание для оценки слу­ чайностей, т. е. собрать возможно больше положительных сведений, под которыми мы разумеем здесь указания относительно того, насколько часто повторяются в дей­ ствительности одни события сравнитель­ но с другими. Таким образом, для целей настоящего сочинения можно предполо­ жить, что заключения относительно веро­ ятности того или другого факта основы­ ваются на нашем знании пропорции меж­ ду теми случаями, где факты этого рода встречаются, и теми, где они не встреча­ ются. Знание же это мы либо получаем путем специального опыта, либо выводим из того, что мы знаем о наличии в дан­ ном случае причин, стремящихся произ­ водить рассматриваемый факт, и из сопо­ ставления их с причинами, стремящимися предотвратить его.

Такое исчисление случайностей осно­ вано на индукции, и для того чтобы это исчисление было правильным, лежащая в основе его индукция должна быть также правильной. Процесс этот будет все-таки индукцией, хотя здесь будет доказывать­ ся не то, что событие встречается во всех случаях того или другого рода, но лишь то, что на данное число таких случаев оно встречается приблизительно столькото раз. Дробь, которой пользуются мате­

матики для обозначения вероятности того или другого события, есть отношение меж­ ду этими двумя числами: меэду числом случаев, где данное событие имеет место, и общим количеством всех случаев — как тех, где это событие встречается, так и тех, где оно не встречается. При игре в ор­ лянку вопрос идет о том, какая сторона монеты выпадет, и вероятность выпадения оборотной стороны равна половине, так как, если мы бросаем монету достаточно часто, то оборотная ее сторона выпадает приблизительно один раз на каждые два бросания. При бросании игральной кости вероятность выпадения одного очка равна одной шестой; мы заключаем это не про­ сто потому, что всего возможных выпаде­ ний шесть и из них на долю одного очка приходится одно, и не только потому еще, что у нас нет никаких оснований ожидать, чтобы выпала скорее одна сторона кости, чем другая (хотя я и признал такое осно­ вание достаточным за неимением лучше­ го), —а потому, что мы действительно зна­ ем, путем умозаключения или путем опыта, что на сотню или миллион бросаний од­ но очко выпадает приблизительно в одной шестой из всего этого числа случаев, т. е. приблизительно один раз из шести.

§ 4. Я сказал «путем умозаключения или путем опыта», разумея под «опытом» спе­ циальный опыт. Но при оценке вероятно­ стей не безразлично, на котором из этих двух источников основывается наша уве­ ренность. Вероятность событий, вычислен­ ная лишь на основании того, насколько часто они повторялись в прежнем опыте, дает менее надежную основу для руковод­ ства на практике, чем вероятность их, вы­ веденная на основании столь же точного знания того, насколько часто встречаются их причины.

Обобщение, согласно которому то или другое происшествие встречается в десяти из каждых ста случаев данного рода, есть столь же реальная индукция, как и обоб­ щение, которое удостоверяло бы, что это происшествие встречается во всех случаях. Но когда мы доходим до заключения, про­ сто подсчитывая случаи, имевшие место в

действительном опыте, и сравнивая число случаев присутствия А с числом случаев его отсутствия, то мы имеем здесь лишь дока­ зательство по методу сходства, и заключе­ ние наше есть не более, как эмпирический закон. Мы можем сделать шаг дальше, если мы в состоянии добраться до причин, от которых зависит появление и непоявление А, и оценить, насколько часто встречают­ ся причины, благоприятные появлению А,

ипричины, ему неблагоприятные. Это бу­ дут уже данные высшего порядка, и в них найдет себе поправку или подтверждение закон, полученный при помощи просто­ го числового сравнения утвердительных и отрицательных случаев: во всяком случае, мы будем иметь тогда более правильное мерило вероятности, чем то, какое дало нам простое числовое сравнение. Верно было замечено, что в такого рода приме­ рах, какими обыкновенно поясняют уче­ ние о случайностях: а именно, в примере ящика с шарами, оценка вероятностей под­ крепляется фактами причинной связи — более сильными, чем специальный опыт. «На каком основании, если в ящике содер­ жится девять черных шаров и один белый, ожидаем мы черного шара в девять раз увереннее, чем белого (или, иначе говоря, ожидаем, что будем вынимать черный шар

вдевять раз чаще: степень повторяемости

ислужит именно мерой напряженности ожидания)? Очевидно, мы основываемся здесь на том, что пространственные усло­ вия данного случая в девять раз благопри­ ятнее для черного шара: на девять мест, где рука может встретить черный шар, при­ ходится лишь одно такое, в котором она может найти белый. Совершенно на том же основании, например, мы не надеемся отыскать в толпе своего приятеля: условия, от которых зависит наша встреча, слиш­ ком многочисленны и трудно осуществи­ мы. Это основание, разумеется, имело бы другое значение, если бы белые шары от­ личались меньшим объемом, чем черные; тогда и вероятность не осталась бы той же самой: большой шар имел бы гораздо больше шансов попасться под руку»3.

Всамом деле, очевидно, что, раз при­ чинная связь признана за всеобщий закон,

то только этот закон может служить ра­ зумным основанием для нашего ожидания. Для того, кто признает, что всякое событие зависит от причин, то обстоятельство, что известная вещь однажды случилась, явля­ ется основанием ожидать ее повторения только потому, что это доказывает дей­ ствительное или возможное существова­ ние причины, способной произвести эту вещь4. Частое повторение того или друго­ го события, не связанное ни с какой догад­ кой относительно его причины, может дать начало только индукции per enumerationem simplicem («посредством простого перечис­ ления»), и полученные таким путем нена­ дежные выводы теряют всякое значение, как только появляется на сцену принцип причинной связи.

Однако, несмотря на то что, с отвле­ ченной точки зрения, оценка вероятно­ сти, основанная на причинах, имеет боль­ шую ценность, все-таки почти всегда, когда случайность допускает оценку, достаточно точную для того, чтобы ее числовое вы­ ражение могло иметь какое-либо практи­ ческое значение, числовые данные полу­ чаются не из знания причин, а из опыта над самими событиями, о которых идет вопрос. Вероятность продолжительности жизни в различные возрасты или в различ­ ных климатах; шансы на выздоровление от той или другой болезни, на рождение ребенка мужского или женского пола; ве­ роятность уничтожения домов или друго­ го имущества огнем, гибели корабля в том или другом путешествии — все это вы­ водится на основании скорбных листов, госпитальных отчетов, записей о рожде­ ниях, о кораблекрушениях и проч., т. е. на основании наблюденной повторяемо­ сти не причин, а следствий. Это объясня­ ется тем обстоятельством, что во всех на­ званных классах фактов причины либо во­ все недоступны для прямого наблюдения, либо не могут быть наблюдаемы с необхо­ димой точностью, так что у нас нет других средств судить об их повторяемости, кро­ ме эмпирического закона, который мы вы­ водим на основании повторяемости след­ ствий. Тем не менее вывод все-таки зависит здесь лишь от причинной связи. Мы умо­

заключаем от одного следствия к другому, подобному, проходя через причину. Если заведующий какой-либо страховой конто­ рой заключает на основании своих таблиц, что из ста живущих теперь лиц известного возраста семидесяти лет достигнут в сред­ нем пятеро, то его заключение будет пра­ вильно не просто потому, что таков был процент доживавших до семидесятилетне­ го возраста в прежние времена, но потому, что этот факт указывает на существование (для данного места и времени) соответ­ ствующего отношения между причинами, продолжающими жизнь до семидесяти лет, и причинами, стремящимися положить ей (юлее ранний конец5.

§ 5. На основании изложенных выше принципов легко доказать ту теорему тео­ рии вероятностей, на которой основывает­ ся приложение этой теории к исследова­ ниям, устанавливающим действительность того или другого события или отдельного факта. Обыкновенно факты доказывают­ ся некоторыми из их следствий, так что исследование сводится здесь к установле­ нию того, какой причине всего вероятнее надо приписать то или другое данное след­ ствие. При таких изысканиях применяет­ ся шестой принцип Лапласа (в его Essai I'hilisophique sur les Probabilites), который он назвал «основным принципом того от­ дела анализа случайностей, который каса­ ется восхождения от событий к их при­ чинам»6.

Положим, нам дано для объяснения какое-нибудь такое следствие, которое мо­ жет быть произведено несколькими при­ чинами, причем относительно наличия в данном случае которой-либо одной из этих причин нам ничего неизвестно. Вероят­ ность того, что следствие произведено лю­ бой в отдельности из этих причин, равна

предшествующей вероятности (antecedent pmbability) этой причины7, умноженной

на вероятность того, что причина эта и тех случаях, когда она существует, проимюдила данное следствие.

Пусть М будет следствие, а А и В — две причины, каждая из которых могла произвести его. Для определения степе­

ни вероятности того, что оно произведе­ но той, а не другой из этих причин, нам надо установить, существование которой из них наиболее вероятно в данном слу­ чае, а затем то, которой из них, раз она здесь действительно существовала, с наи­ большей вероятностью можно приписать следствие М: искомая вероятность будет произведением этих двух вероятностей.

С лучай I. Пусть обе причины будут одинаковы во втором отношении, т. е. пусть А и В предполагаются одинаково вероят­ ными (или одинаково достоверными) в ка­ честве причин М. Но пусть само существо­ вание А вдвое вероятнее, чем существова­ ние В; положим, например, что А встреча­ ется вдвое чаще В. Тогда будет вдвое веро­ ятнее, что в данном случае существовало A, что именно оно было той причиной, которая произвела М.

Действительно, если А встречается в природе вдвое чаще В, то на каждые 300 случаев, где существовало либо А, либо B, А должно было существовать 200 раз,

аВ — 100. Но либо А, либо В должно суще­ ствовать всякий раз, когда происходит М; следовательно, из 300 случаев наличия М 200 раз производящей его причиной было А, а В — только 100 раз, т. е. в отноше­ нии 2 к 1. Таким образом, если причины одинаковы по своей способности произ­ водить следствие, то вероятность того, что

внастоящем случае оно произведено той,

ане другой из них, выражается отношени­ ем их предшествующих вероятностей.

Случай II. Сделаем обратное пред­ положение: положим, что причины встре­ чаются одинаково часто, что их существо­ вание одинаково вероятно, но вероятность

того, что каждая из них произведет М, не одинакова; например, А из трех слу­ чаев своего присутствия производит след­ ствие М, положим, двавды, между тем как В из трех случаев, когда оно имеется нали­ цо, производит его лишь раз. Так как обе причины встречаются одинаково часто, то на каздые шесть случаев, где существует либо та, либо другая из них, А существует три раза и В также три. Аиз своих трех слу­ чаев производит М два раза; В в своих трех случаях производит М один раз. Таким об­

три раза подряд равна, на основании по­ добного же рассуждения, 1/63, т. е. 1/216, другими словами, при значительном чис­ ле бросаний такое выпадение случится в среднем лишь однажды на двести шестна­ дцать бросаний.

Таким образом, у нас есть правило, но которому мы можем установить веро­ ятность случайного характера любого дан­ ного ряда совпадений, раз только мы в со­ стоянии правильно измерить вероятность каждого отдельного совпадения. Если бы мы были в состоянии одинаково точно вы­ разить вероятность того, что этот же ряд совпадений возникает в силу причинной связи, то нам оставалось бы только срав­ нить найденные числа. Но это исполнимо лишь в редких случаях. Посмотрим, в ка­ кой степени можно приблизиться на прак­ тике к необходимой здесь точности.

Вопрос этот относится к числу тех, ко­ торые решаются при помощи только что доказанного шестого положения Лапласа. Данный факт, т. е. ряд совпадений, может обусловливаться либо каким-нибудь слу­ чайным соединением причин, либо тем или другим законом природы. Поэтому ве­ роятность для каждой причины того, что данный факт произведен именно ею, рав­ на предшествующей вероятности этой при­ чины, умноженной на вероятность того, что, существуя, она производит данное следствие. Но если соответствующее соче­ тание случайностей будет налицо, а так­ же если соответствующий закон приро­ ды действителен, то рассматриваемый ряд совпадений должен получиться непремен­ но. Следовательно, вероятности того, что совпадения эти произведены той или дру­ гой из указанных причин, равны предше­ ствующим вероятностям этих причин. Од­ на из этих вероятностей: предшествующая вероятность того сочетания простых слу­ чайностей, которое может произвести дан­ ный результат, —доступна количественно­ му определению. Предшествующая же ве­ роятность другого предположения может допускать более или менее точную оценку,

взависимости от характера вопроса.

Внекоторых случаях совпадение (пред­ полагая, что оно вообще есть результат при­

чинной связи) должно быть результатом какой-либо определенной причины; так, например, повторное выпадение одного очка, если оно не случайно, должно объяс­ няться подделкой кости. В подобных слу­ чаях мы, может быть, будем в состоянии построить ту или другую догадку относи­ тельно предшествующей вероятности та­ кого обстоятельства — догадку, основан­ ную на характере участников игры или на каком-либо другом подобном признаке, хотя оценка этой вероятности с какой бы то ни было числовой точностью невоз­ можна. Но так как противоположная ве­ роятность —вероятность случайного про­ исхождения нашего совпадения — быст­ ро уменьшается с каждым новым опытом, то скоро наступает момент, когда шансы в пользу поддельности кости, как бы они ни были малы сами по себе, должны стать больше, чем шансы в пользу случайного совпадения. На этом именно основании, если в нашей власти повторять опыт, мож­ но бывает вообще без большого колебания прийти на практике к тому или другому решению.

В других случаях совпадение имеет та­ кой характер, что его нельзя объяснить никакой уже известной причиной, и связь между двумя явлениями, если она обуслов­ ливается причинной зависимостью, долж­ ны быть результатом какого-либо неиз­ вестного до сих пор закона природы. Это­ го случая мы уже коснулись в предыдущей главе. Ясно, что, хотя бы вероятность слу­ чайного совпадения и была в этом случае определена, но противоположное предпо­ ложение о существовании какого-либо не­ открытого еще закона природы не допус­ кает даже приблизительной оценки. Для получения нужных в этом случае данных необходимо было бы знать, какая часть всех встречающихся в природе отдельных последовательностей или сосуществований является результатом законов, а какая пред­ ставляет собой лишь случайные совпаде­ ния. Так как очевидно, что мы не можем построить никакой правдоподобной до­ гадки относительно этого, а тем менее чис­ ленно определить эти части, то мы не мо­ жем и надеяться на точную оценку срав­