Квантовая теория / Квантовая теория_1 / posobie

5.Представление операторов в матричной форме

ˆ

Рассмотрим оператор L с дискретным спектром собственных значений Ln и набором собственных функций ψn(x). Поскольку система собственных функций оператора представляет собой полный набор, следовательно, любую функцию, определенную на той же области переменных, что и функции ψn(x), можно разложить по этим функциям как по базису:

ϕ(x) = X cnψn(x).

n

Функции ψn(x) считаются известными, поэтому для того чтобы задать ϕ(x), достаточно знать коэффициенты cn.

ˆ

Пусть некоторый оператор A, действуя на функцию χ(x), переводит ее в функцию ϕ(x):

Представим функции ϕ(x) и χ(x) в виде разложения по собственным

ˆ

Здесь мы воспользовались свойством линейности оператора A. Домножая это равенство слева на ψm(x) и интегрируя по всей области изменения координаты x, получаем:

Учитывая, что собственные функции оператора, принадлежащие разным собственным значениям, ортогональны между собой, интеграл в левой

31

части этого выражения легко вычисляется:

Поскольку наборы коэффициентов cn и bn определяют функции ϕ(x) и χ(x) соответственно, то равенство (5.5), как и (5.1), описывает переход от функции χ(x) к функции ϕ(x). Этот переход осуществляется с помощью коэффициентов Amn. Таким образом, можно определить набор

ˆ

всех величин Amn как оператор A в L – представлении. Совокупность величин Amn может быть записана в виде матрицы

ˆ

которую называют матрицей оператора A в L – представлении. Размерность этой матрицы определяется конкретной задачей.

где dΩ = sin θdθdϕ. Поскольку сферические функции Yl,m(θ, ϕ) зависят от двух квантовых чисел l и m, в данной задаче под индексами α, β надо понимать множество {l, m}. При фиксированном значении орбитального квантового числа l размерность матрицы определяется количеством собственных значений азимутального квантового числа m. В состоянии l = 1 квантовое число m может принимать значения −1, 0, +1, следовательно, размерность искомой матрицы будет (3 × 3). Для того чтобы перебрать все состояния, характеризующиеся разным m, удобно их пронумеровать:

32

С учетом вышеизложенного, матричный элемент (Mx)αβ запишется в

ˆ + + +

q

K Yl,m(θ, ϕ) = N (l, m) Yl,m+1(θ, ϕ), N (l, m) = h¯ l(l + 1) − m(m + 1),

ˆ − − −

q

K Yl,m(θ, ϕ) = N (l, m) Yl,m−1(θ, ϕ), N (l, m) = h¯ l(l + 1) − m(m − 1).

Принимая во внимание свойство ортогональности сферических функций

Z

Yl′,m′ (θ, ϕ)Yl,m(θ, ϕ) dΩ = δl,l′ δm,m′ ,

находим окончательное выражение для матричного элемента оператора

ˆ

Mx:

(Mx)α,β = 12 N +(l, β) δα,β+1 + N −(l, β) δα,β−1 .

Подставляя в последнюю формулу l = 1 и α, β = 1, 2, 3, можно выписать

33

Задания для самостоятельного решения 1. Показать, что если оператор эрмитов, то диагональные элементы

его матрицы вещественны.

2. Найти связь между матричными элементами Amn и Amn, если опе-

ˆ

ратор A эрмитов.

3. Доказать, что в своем собственном представлении матрица оператора диагональная, причем по диагонали стоят собственные значения.

ˆˆ

4.Найти матричные элементы произведения операторов AB. Ответ

ˆ ˆ

выразить через матричные элементы операторов A и B.

5. Используя повышающий и понижающий операторы, найти матричные элементы операторов координаты x и импульса pˆx для одномерного гармонического осциллятора. Доказать, что Hmn = mω2(x2)mn/2 + (p2x)mn/2m.

яниях l = 1/2, 1, 3/2, 2.

Список литературы

[1]Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. Москва, 1976.

[2]Соколов А.А., Лоскутов Ю.М., Тернов И.М. Квантовая механика. Москва, 1962.

[3]Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Москва, 1989.

[4]Давыдов А.С. Квантовая механика. Москва, 1973.

[5]Ферми Э. Лекции по квантовой механике: Пер. c англ. Ижевск, 2000.

[6]Гречко Л.Г. и др. Сборник задач по теоретической физике. Раздел ”Квантовая механика”. Москва, 1984.

[7]Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.Н. Задачи по квантовой механике. Москва, 1981.

34

35