Квантовая теория / Квантовая теория_1 / posobie

действительно имеет место, поскольку волновая функция удовлетворяет уравнению непрерывности в квантовой механике, которое является следствием основного уравнения квантовой механики – уравнения Шредингера. Из уравнения непрерывности непосредственно следует, что нормировка сохраняется во времени.

Волновую функцию любого состояния можно представить в виде су-

В сущности это разложение есть не что иное, как разложения в интеграл Фурье, где коэффициенты разложения ϕ(p,~ t) определяются следующим

Функция ϕ(p,~ t) может быть интерпретирована как волновая функция частицы в импульсном представлении. Причем из условия нормировки (3.1) следует, что функция ϕ(p,~ t) также нормирована:

Z

| ϕ(p,~ t) |2 d3p = 1. (3.3)

Задание 1. Найти среднюю скорость движения и ширину волнового пакета ψ(x, t), если амплитуда ϕ(p) имеет вид гауссовой кривой:

ϕ(p) = N e− ,

где p0 и σ – параметры распределения. Найти область локализации частицы в момент времени t = 0.

Решение. Из условия нормировки (3.3) определим коэффициент N . Интеграл по p легко вычисляется, если ввести новую переменную интегри-

q √

откуда N = 1/ σ π. Используя разложение (3.2), запишем функцию

21

С учетом связи между кинетической энергией и импульсом E = p2/2m, выражение для фазы может быть преобразовано к виду:

Запишем общее решение для ψ(x, t), выделив в нем в явном виде плоскую волну де-Бройля. Для этого добавим и вычтем в показателе экспоненты слагаемое вида (p0x −E0t), где E0 = p20/2m. С учетом явного вида коэффициентов a, b, c фаза может быть приведена к виду:

где

α = 1 + itσ2 . mh¯

Подставляя этот результат в формулу (3.6), выпишем окончательное

Здесь v0 = p0/m – скорость частицы. Из последней формулы видно, что

22

Рис. 3. Плотность вероятности группы волн как функция x для некоторого момента времени t

центр тяжести волнового пакета (точка x = v0t) движется со скоростью частицы.

График плотности вероятности | ψ(x, t) |2 такого волнового пакета в некоторый фиксированный момент времени t изображен на рис. 3. Из этого рисунка, в частности, видно, что функция имеет максимум в точке x0 = v0t и и быстро спадает с ростом отклонения x от x0. Удвоенное расстояние от точки максимума до точек, в который квадрат модуля волновой функции убывает в e раз, можно принять за эффективную ширину волнового пакета

Ширина (3.9) с течением времени растет, и, следовательно, пакет постепенно расплывается.

Чтобы найти область локализации частицы в начальный момент времени, надо найти плотность вероятности обнаружения частицы в точке x:

Максимум этой функции – точка x = 0 соответствует наиболее вероятному месторасположению частицы в момент времени t = 0.

23

Задания для самостоятельного решения

1. В момент времени t = 0 поведение частицы описывается функцией

ψ(x, 0) = N e xa22 + h¯i p0x .

Найти нормировочный коэффициент и область локализации частицы в начальный момент времени.

2.Найти коэффициенты Фурье ϕ(p, t) для функции, приведенной в задаче 1, и определить ширину пакета в импульсном представлении.

3.Пронормировать следующие функции (здесь a – постоянная):

3.1ψ = N e−x2/2a2 ,

3.2ψ = N x e−x2/2a2 ,

3.3ψ = N (2x2 − a2) e−x2/2a2 ,

3.4ψ = N eiϕ sin θ,

3.5ψ = N (3 cos2 θ − 1),

3.6ψ = N e−iϕ sin θ r e−r/2a,

3.7ψ = N cos θ r e−r/2a.

4.Используя определение волновой функции в импульсном представ-

Найти соответствующую ей волновую функцию в импульсном представлении. Представить графически распределение вероятности по импульсам, определить область наиболее вероятных значений импульса.

б) То же для функции

24

в) То же для функции

ψ(x, 0) = N e−2xa22 + h¯i p0x.

4.Собственные значения и собственные функции оператора

ˆ

Для того чтобы в состоянии ψ величина, изображаемая оператором L, имела единственное значение, необходимо, чтобы выполнялось условие:

Волновая функция, удовлетворяющую этому условию, называется соб-

ˆ

ственной функцией оператора L, числовой коэффициент L называется

ˆ

собственным значением оператора L. Спектр собственных значений может быть дискретным, непрерывным и смешанным. Каждому собственному значению L1, L2, . . . , Ln соответствует вполне определенная волновая функция ψ1, ψ2 . . . , ψn. В этом случае говорят, что собственная функция ψn принадлежит собственному значению Ln.

Собственные функции ψn и ψm самосопряженного оператора, принадлежащие разным собственным значениям Ln и Lm, ортогональны между

собой:

Z

ψn ψm dV = 0.

Примером уравнения на собственные значения и собственные функции является стационарное уравнение Шредингера. Если гамильтониан

ˆ

системы H не зависит явно от времени, то общее решение имеет вид:

ψn(~r, t) = ψn(~r) e−iEnt/h¯ .

Здесь ψn(~r) – собственные функции оператора Гамильтона:

ˆ

H ψn(~r) = En ψn(~r),

где En собственные значения оператора полной энергии. Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Задание 1. Найти собственные значения Mz и собственные функции

ˆ

Φ(ϕ) оператора Mz .

25

Решение:

ˆ

Оператор Mz в сферической системе координат имеет вид:

Подставляя его в уравнение на собственные функции (4.1), имеем

∂

−ih¯ ∂ϕ Φ(ϕ) = Mz Φ(ϕ).

Решением этого уравнения является функция

Из условия однозначности функции

Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π)

находим спектр собственных значений Mz :

N eiMz ϕ/h¯ = N eiMz ϕ/h¯ eiMz 2π/h¯ 1 = eiMz 2π/h¯ ,

ˆ

Таким образом, спектр значений оператора Mz – дискретный, проекция Mz меняется с шагом h¯. Чтобы вычислить коэффициент N , воспользуемся условием нормировки:

2π

Z

| Φ(ϕ) |2 dϕ = 1.

0

Подставляя в него функцию (4.2), находим коэффициент нормировки

ˆ

с учетом которого собственная функция оператора Mz имеет вид:

Φm(ϕ) = √1 eimϕ. 2π

Квантовое число m называют азимутальным квантовым числом, оно

ˆ

определяет спектр собственных значений оператора Mz , Mz = mh¯.

26

Задание 2. Найти уровни энергии и волновые функции сферически симметричного трехмерного осциллятора с потенциальной энергией вида U (r) = µω2r2/2, где µ – масса.

Решение:

Состояние системы в сферически симметричной задачи полностью определяется тремя механическими величинами: энергией, проекцией момента импульса на ось z и квадратом момента импульса. Волновая функция, описывающая такую систему, зависит от трех квантовых чисел: n – главного квантового числа, определяющего дискретные уровни энергии, l – орбитального квантового числа, определяющего значения квадрата момента импульса, m – азимутального квантового числа, которое определяет значения проекции момента импульса на ось z.

Спектр энергии и волновые функции осциллятора найдем из стационарного уравнения Шредингера

ˆ

Hψn,l,m = Eψn,l,m.

В рассматриваемом случае сферической симметрии оно имеет вид:

функция ψ(r, θ, ϕ) может быть также и собственной функцией операто-

Как и в любой сферически симметричной задаче, будем искать решение уравнения (4.3), основываясь на методе разделения переменных. Представим искомую волновую функцию в виде произведения радиальной части на угловую:

где Yl,m(θ, ϕ) – сферические функции, общие для любой сферически симметричной задачи, Yl,m(θ, ϕ) = Pl,m(cos θ)eimϕ, Pl,m(cos θ) – полином Лежанра. Напомним, что эти функции являются собственными функциями

27

Подставляя общий вид решения (4.5) в (4.3) с учетом (4.4), получаем уравнение для функции R(r):

q

Если ввести новую функцию Φ(r) = rR(r), обозначения r0 = h/µω¯ , λ = E/hω¯ и переменную ξ = r/r0, то уравнение преобразуется к виду:

Рассмотрим асимптотическое поведение функции Φ(ξ). При ξ → ∞ уравнение (4.7) сводится к уравнению

Φ′′ (ξ) − ξ2Φ(ξ) = 0,

решением которого является функция Φ(ξ) = c1e−ξ2/2 + c2eξ2/2. Так как волновая функция должна убывать на бесконечности, следует положить c2 = 0. Коэффициент c1 можно взять равным 1, поскольку функция еще не нормирована. Таким образом, функция Φ(ξ) в этой асимптотике имеет

вид:

Φ(ξ)ξ→∞ e−ξ2/2.

При ξ → 0 получаем уравнение

Решение этого уравнения будем искать в виде степенной функции Φ(ξ) = ξa. Подставляя ee в (4.8), получаем следующее соотношение:

a(a − 1) = l(l + 1),

которое удовлетворяется при двух значениях :

a = l + 1, a = −l.

Однако при a = −l функция Φ(ξ) неограниченно возрастает при ξ → 0. Конечной функция будет, только если показатель степени равен l + 1:

Φ(ξ)ξ→0 ξl+1.

Принимая во внимания асимптотическое поведение функции Φ(ξ), запишем ее виде:

28

где v(ξ) – неизвестная функция конечной степени, которая при ξ → 0 выходит на константу, а при ξ → ∞ не ”перебивает” экспотенциальное затухание. После подстановки (4.9) в выражение (4.7), получаем уравнение на функцию v(ξ):

Подставляя в последнее уравнение функцию v(ξ) в виде степенного ряда

k=0

причем c0 =6 0, что следует из проведенного выше исследования волновой функции в нуле, и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ξ, получаем рекуррентное соотношение:

Из этого соотношения следует, что при k → ∞ ряд превращается в eξ2 , а значит, функция Φ(ξ) eξ2/2, то есть возродилось расходящееся решение. Чтобы этого избежать, оборвем ряд. Для этого достаточно потребовать, чтобы при некотором k = kmax ≡ kr выполнялось условие:

Вспоминая определение параметра λ = E/hω¯ , находим разрешенные уровни энергии сферически симметричного трехмерного осциллятора:

3 ! 1 !

En = hω¯ kr + l + 2 ≡ hω¯ n + 2 ,

где n = kr +l+1, n = 1, 2, 3, . . . . Этому уровню энергии отвечает функция

ψn,l,m = N e−ξ2/2 ξl+1 vn,l(ξ) Pl,m(cos θ)eimϕ,

где функция vn,l(ξ) определяется формулой (4.10) и представляет собой полином степени kr = n−l−1, коэффициенты которого определяются рекурентным соотношением (4.11). В силу четности kr, орбитальное квантовое число l принимает четные значения при нечетном n и нечетные значения при четном n. Заметим, что в отличие от одномерного гармонического осциллятора, состояние сферически симметричного трехмерного

29

осциллятора с заданной энергией En вырождено. Кратность вырождения s равна

Задания для самостоятельного решения 1. Найти собственные значения и собственные функции операторов :

собственные функции, отвечающие состояниям с l = 0, 1.

3.С помощью повышающего и понижающего операторов aˆ+, aˆ− найти спектр энергии и первые пять волновых функций одномерного гармонического осциллятора.

4.Найти уровни энергии и волновые функции одномерного гармони-

ческого осциллятора, помещенного в электрическое поле, напряженности

~

E. Заряд частицы равен q.

5.Найти уровни энергии и волновые функции частицы, двигающейся

вцентральном поле вида

6.Найти уровни энергии и волновые функции частицы, находящейся

впотенциальной яме с бесконечно высокими стенками:

а)

0, −l/2 ≤ x ≤ l/2, U = ∞, x < −l/2, x > l/2.

b)

0, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c,

U= ∞, x < a, x > a; y < b, y > b; z < c, z > c.

7.Найти уровни энергии и волновые функции частицы, находящейся

впотенциальной яме вида:

8. Являются ли функции

30