Квантовая теория / Квантовая теория_1 / posobie

Для энергии водородоподобного атома водорода окончательно получаем следующее выражение:

Z2e4m

En = − 2¯h2n2 , (1.21) где введено квантовое число n, называемое главным квантовым числом,

n = nρ + nϕ + 1. Отметим, что, в отличие от квантовых чисел nρ и nϕ, главное квантовое число изменяется от единицы, n = 1, 2, . . . .

Задания для самостоятельного решения

1.Частица массы m вертикально падает на горизонтальную пластину

иупруго от нее отражается. Найти спектр энергии частицы, определить допустимые высоты Hn.

2.Найти спектр энергетических уровней водородоподобного атома в случае круговых орбит. Оценить радиус первой орбиты.

3.Найти уровни энергии частицы массы m, свободно вращающейся по окружности радиуса r.

4.Определить уровни энергии частицы, находящейся в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими и непробиваемыми стенками, расположенными при x = 0 и x = x0.

5.Проквантовать движение частицы с положительным зарядом q в однородном электрическом поле с напряженностью E, направленной вертикально вниз. (Считать, что частица падает на горизонтальную пластину и упруго от нее отражается.)

2.Операторы. Свойства операторов

ˆ

Оператором A называется правило, согласно которому каждой функции ψ из некоторого класса функций ставится в соответствие другая

ˆ

функция ϕ = Aψ. Основная идея применения операторов в квантовой механике заключается в том, что каждой физической величине ставится в соответствие изображающий ее оператор.

Оператор называется линейным, если

11

где c1 и c2 – произвольные постоянные, ψ1 и ψ2 – функции, на которых определен оператор. Например, оператор возведения в квадрат нелинейный:

действия произведения операторов не зависит от порядка множителей

Можно показать (смотри, например: Блохинцев. Квантовая механика), что если два оператора коммутируют друг с другом, то соответствующие им величины могут иметь одновременно определенное значение. Напротив, если операторы не коммутируют, то соответствующие им величины не могут иметь одновременно определенные значения и, следовательно, не могут быть одновременно измерены.

Из определения (2.1) следует, что коммутатор обладает следующими свойствами:

ˆˆ ˆ ˆ

1.[A, B] = −[B, A],

ˆˆ

2.[A, A] = 0,

4. [A + C, B + D] = [A, B] + [C, B] + [A, D] + [C, D].

Отметим, что операторы могут иметь и векторный характер. Например, в квантовой механике часто встречается дифференциальный опера-

~ ~ ~

где i, j, k – единичные вектора, направленные вдоль осей координат. Дей-

12

Важную роль в квантовой механике играет понятие эрмитово сопря-

ˆ

женного оператора. Оператором, эрмитово сопряженным к оператору A,

ˆ+

называется оператор A , удовлетворяющий следующему равенству:

Z Z

ˆ ˆ+

ψ1 (A ψ2) dV = (A ψ1) ψ2 dV,

где знак* означает комплексное сопряжение, так как и функции, и операторы могут быть комплексными, под dV понимается совокупность всех переменных, от которых зависят рассматриваемые функции. Оператор, для которого

называется самосопряженным (или эрмитовым) оператором. Все операторы, соответствующие реальным физическим величинам, – эрмитовы (операторы скорости, импульса, момента импульса и т. д.). Это следует из требования вещественности среднего значения измеряемой величины.

Задание 1. Найти оператор, эрмитово сопряженный к оператору про-

ˆ ˆ ˆ+ ˆ+

изведения AB. Результат выразить через A и B .

Решение.

ˆ

Учитывая, что на функцию ψ2 сначала действует оператор B, в результате чего получается некая новая функция Φ2, преобразуем левую часть этого выражения к виду:

Здесь мы воспользовались определением эрмитово сопряженного опера-

ˆ

ление к оператору B, получаем:

13

Сравнивая этот результат с правой частью равенства (2.2), находим, что

Аналогичным образом можно показать, что полученный результат справедлив и для большего числа операторов:

Задание 2. Найти операторы, эрмитово сопряженные к операторам частной производной ∂/∂x, ∂2/∂x2, ∂n/∂xn.

Решение.

По определению эрмитово сопряженного оператора:

где dV = dxdydz. Преобразуем интеграл, стоящий слева, к виду, когда оператор производной действует на функцию ψ1, а не на функцию ψ2. Для этого проинтегрируем его по частям по переменной x:

где учтено, что волновая функция должна убывать на бесконечности (ψ1(x → ±∞) = ψ2(x → ±∞) = 0). Принимая во внимание, что оператор −∂/∂x вещественный, исходный интеграл может быть приведен к виду:

то есть оператор производной не является самосопряженным. Для того чтобы найти оператор, эрмитово сопряженный к оператору второй производной ∂2/∂x2, воспользуемся результатом предыдущей задачи:

14

Аналогично для производной n - го порядка

Формула (2.6) иллюстрирует, что оператор ∂n/∂xn является эрмитовым, если n – четное, и не является таковым при нечетном n.

где dV = r2 dr dΩ – элемент объема в сферической системе координат, dΩ = sin θ dθ dϕ – элемент телесного угла. Подставляя явный вид опе-

Рассмотрим первый интеграл. Для того чтобы перекинуть действие производной на функцию ψ1, проинтегрируем его по частям. При этом необходимо учесть, что в отличие от примера, рассмотренного в предыдущей задаче, в данном случае элемент объема dV содержит переменную r, от которой зависит оператор. Обозначая за u = ψ1 r2, dv = ∂ψ2/∂r, получаем:

Что касается второго интеграла в выражении (2.8), то, поскольку действие оператора 1/r сводится к умножению, его можно сразу переписать

15

в форме:

Подставляя (2.9) и (2.10) в выражение (2.8), получаем:

Задание 4. Найти оператор трансляции:

a)вдоль оси x на расстояние a,

b)на произвольный вектор ~a.

Решение:

Действие оператора трансляции вдоль оси x на волновую функцию определяется следующим образом:

Разложим функцию ψ(x, y, z) в ряд по степеням a:

Замечая, что выражение, стоящее в квадратных скобках, представляет собой разложение в ряд экспоненты

Сравнивая полученный результат с определением (2.11), находим оператор трансляции вдоль оси x на расстояние a, который может быть выражен через оператор импульса:

16

Оператор сдвига на произвольный вектор ~a = (a1, a2, a3) определяется равенством

ˆ

T~a ψ(~r) = ψ(~r + ~a),

и для него аналогичным образом получаем:

Задание 5. Найти оператор, эрмитово сопряженный к оператору транс-

ˆ

ляции T~a.

Рассмотрим интеграл, стоящий слева от знака равенства в этом вы-

ˆ

ражении. Подействуем оператором T~a на функцию ψ2(~r):

Z Z

ˆ

J = ψ1 (~r) T~a ψ2(~r) dV = ψ1 (~r) ψ2(~r + ~a) dV

и произведем замену переменной

~r + ~a = ~r′.

Так как интегрирование ведется по всему пространству, пределы интегрирования не изменятся. После замены получаем

Z

J = ψ1 (~r′ −~a) ψ2(~r′) dV ′. (2.14)

Функция ψ1 (~r′ −~a) может быть представлена как функция ψ1 (~r′), на которую подействовал оператор сдвига на вектор −~a:

ˆ

где учтено, что оператор T(−~a) вещественный и, следовательно, не меняется при комплексном сопряжении. Подставляя результат (2.15) в формулу (2.14) и сравнивая с определением, получаем

Z Z

ˆ ˆ

ψ1 (~r) T~a ψ2(~r) dV = (T(−~a)ψ1(~r)) ψ2(~r) dV,

откуда находим

ˆ + ˆ

(T~a) = T(−~a).

17

Оператор, эрмитово сопряженный к оператору трансляции на произвольный вектор ~a, есть оператор сдвига на то же расстояние | ~a |, но в направлении, противоположном направлению вектора ~a.

Задание 6. Вычислить коммутаторы [xk, pˆj ], где индексы k, j пробегают значения x, y, z.

Решение:

Выберем в качестве исходного координатное представление, когда волновая функция зависит от координат и времени. В этом представлении операторы координаты и импульса имеют следующий вид:

∂

xˆk = xk, pˆj = −ih¯ ∂xj .

Действие оператора координаты в этом случае сводится к умножению на число x, поэтому в дальнейшем знак оператора над оператором xˆ будем опускать. Подставляя явный вид операторов в коммутатор и раскрывая его по определению, получаем

В случае когда k =6 j координата xk является постоянной величиной относительно производной, коммутатор равен нулю:

При k = j вычисления приводят к следующему результату:

Здесь для наглядности указана волновая функция, на которую непосредственно действуют операторы. В дальнейшем, как это и принято, будем ее опускать и записывать ответ в виде:

В общем случае результат вычислений может быть записан в форме:

18

Полученные результаты показывают, что координата вдоль одной из осей может иметь определенное значение одновременно с компонентами импульса по двум другим осям. В то же время не существует состояний, в которых координата и сопряженный ему импульс имеют одновременно определенное значение. По сути cоотношения (2.16) в операторной форме выражают соотношение неопределенности, являющееся фундаментальным для квантовой механики.

Задания для самостоятельного решения

1. Является ли оператор комплексного сопряжения a) линейным; б) эрмитовым ?

2. Возвести в квадрат операторы a) x+ ∂x∂ , б) y ∂y∂ −y, в) f (x, y, z)+ ∂x∂ .

ˆ~

3.Найти квадрат векторного оператора p~ + A(x, y, z), где A(x, y, z) – векторная функция координат.

4.При каких условиях на числа α, β, γ оператор

является a) линейным; б) эрмитовым ?

5. Доказать самосопряженность операторов импульса, квадрата импульса, момента импульса.

ˆ

6. Проверить эрмитовость оператора A = −i h¯ ∂x∂ + x .

7.Построить оператор поворота a) вокруг оси z на угол α; б) вокруг оси с единичным направляющим вектором ~n на угол α. Результат выразить через оператор момента импульса.

8.Выразить в сферических координатах операторы проекций момен-

9. Вычислить коммутаторы (индексы k, j = 1, 2, 3 нумеруют проекции

одномерного гармонического осциллятора.

19

3.Волновые свойства частиц. Волновая функция и ее физический смысл

Согласно гипотезе де-Бройля, всякой свободно движущейся частице соответствует плоская волна:

ψ(~r, t) = N eh¯i (p~r−Et),

где p~ и E – импульс и энергия частицы, связанные с волновыми харак-

~

теристиками (частотой ω и волновым вектором k) соотношениями:

~

p~ = h¯k, E = hω¯ .

Однако плоская волна де-Бройля не может описывать реальное состояние локализованной частицы.

Попытка физического истолкования волн де-Бройля была предпринята Шредингером. Согласно его гипотезе, частица представляет собой волновой пакет, причем плотность ее ”размазывания” по пространству равна квадрату амплитуды. Однако такой подход оказался также некорректным. Главный аргумент против него состоит в следующем. Поскольку каждая из волн, составляющих волновой пакет, двигается со своей фазовой скоростью, с течением времени пакет будет постепенно расползаться.

В настоящее время общепризнанной является статистическая интерпретация волновой функции, предложенная Борном, согласно которой квадрат модуля волновой функции определяет вероятность местонахож-

дения частицы:

dW =| ψ(~r, t) |2 dV.

Здесь dW – вероятность обнаружить частицу в окрестности точки (x, y, z) в момент времени t, | ψ(~r, t) |2≡ ψ (~r, t) ψ(~r, t). При интегрировании по всему объему получим вероятность того, что в момент времени t частица находится где-нибудь внутри этого объема. Это есть вероятность достоверного события, которая должна быть равна единице:

Z

Условие (3.1) называют условием нормировки. Из него, в частности, следует, что полная вероятность найти частицу где-либо в пространстве не зависит от времени. Это утверждение не является тривиальным и

20