!Экзамен зачет 25-26 год / 67369870

ряд идентичен ряду , то мы получим скейлограмму для ряда .

Представляет особый интерес вычисление кросс-вейвлет

преобразования в случае, когда используется комплексный

Таким образом, вычисляя кросс-вейвлет преобразование

можно извлечь значение разности фаз между коэффициента-

Для рядов Т и К выделяется область соответствующая пику интереса во время выборов, что означает, что это область высокой энергии для обоих рядов.

а

б

Рис. 32 – Кросс-вейвлет преобразование с использованием

вейвлета мексиканская шляпа для рядов Т и К (а) и рядов Т и Х (б)

Если проинтегрировать коэффициенты вейвлет преобразования по времени, то получим вейвлет-кросс-корреляционную

121

налами, которые содержат колебания с разной амплитудой или фазой, но, тем не менее, коррелированны между собой

(Рис. 33).

Также можно расширить определение вейвлет кросс-

Рис. 33 – Зависимоть вейвлет-кросс-корреляционной меры от

масштаба для временных рядов Т и К

Для исследования связи между компонентами временных рядов локально в плоскости преобразования, мы можем определить квадратичную оценку когерентности вейвлетов следующим образом:

122

временной шкале, так и в масштабной, при этом сглаживание выполняется на компонентах преобразования.

Методы кросс-вейвлет анализа используют при исследова-

нии свойств нескольких временных рядов, зависимых между собой нетривиальным образом. Например, в геофизике возникает задача выявления причинно-следственных связей или

корреляции между метеорологическими или другими явлениями окружающей среды, которые происходят на большом расстоянии друг от друга. В [Maraun, 2004] анализируются особенности применения кросс-вейвлет преобразования и

оценки когерентности вейвлетов для двумерных временных рядов такого типа. Также методы вейвлет анализа, в том числе и кросс-вейвлет преобразование, были использованы в

[Adamowski, 2008] для изучения метеорологических временных рядов и данных об уровне потока реках. Из временных рядов двух типов выделяли компоненты, которые далее использовались в модели прогнозирования наводнений. В работе показано, что использование кросс-вейвлет анализа полез-

но в том случае, когда существует относительно стабильный сдвиг фазы между потоковым и метеорологическим временными рядами. С помощью кросс-вейвлет преобразования

определялась разность фаз между потоковыми и метеорологическими данными, что улучшило качество модели прогнозирования наводнений.

Другим примером является [Labat, 2010], где кросс-вейвлет

анализ проводился для климатических индексов и показателей сброса пресной воды в Африке. В этом случае, кросс-

вейвлет преобразование и оценка когерентности использовались для визуализации и анализа периодических колебаний в данных длиной в 2-8 лет. В [Kelly, 2003] подтверждается, что методы на основе кросс-вейвлет анализа могут быть эффек-

тивным инструментом в поиске квазипериодичности временного ряда.

Методы кросс-вейвлет анализа также нашли применение в медицине. В [Li, 2007] описывается использование кросс-

123

вейвлет преобразования, оценки когерентности и некоторых других методов на основе вейвлетов для исследования динамики взаимодействия между колебаниями, генерируемыми двумя анатомически различными группами нейронов. Результаты исследования могут быть использованы для анализа и количественного определения временного взаимодействия между нейронными осцилляторами, а также для исследования механизмов эпилепсии.

В [Aguiar-Conraria, 2008] используются инструменты кросс-

вейвлет анализа, чтобы показать, что связь между переменными денежной политики и макроэкономическими переменными со временем изменилась, причем эти изменения не являются однородными на разных частотах.

Данные, полученные с помощью кросс-вейвлет преобразо-

вания, также могут использоваться как исходные данные для алгоритмов классификации. В [Dey, 2010] коэффициенты кросс-вейвлет преобразования подавались на вход искусственной нейронной сети и классификатора Fuzzy.

Дискретное вейвлет преобразование и приближение функций с помощью ряда

Дискретное вейвлет преобразование определяется та-

ким образом, чтобы можно было полностью восстановить исходный сигнал, используя бесконечные суммы дискретных вейвлет коэффициентов. Такой подход также приводит к

функции. Для того чтобы покрыть вейвлетами всю действительную ось, используют перенос вдоль оси. Для простоты

можно использовать целые сдвиги и аналоги синусоидаль-

С помощью непрерывного вейвлет-преобразования выяв-

ляются участки исследуемого ряда, которые по форме наиболее похожи на вейвлет (Рис. 34). Идея состоит в том, чтобы

сравнить части ряда с некоторым шаблоном на разных масштабах (Рис. 35). При этом вейвлет как функция должен об-

ладать определенными математическими свойствами, в частности быстро убывать к нулю на бесконечности. В некоторых случаях полезно использовать шаблон, который не соответствует требованиям к вейвлету. Для этого вместо вейвлет-

является аналогом масштаба s, который использовали при вейвлет-преобразовании.

125

Если при вычислении коэффициента( ) вейвлет-

преобразования всегда использовался весь временной ряд, то в данном случае для вычисления используются точек ряда и шаблон длины .

Рис. 34 – Отрезок временного ряда с наложенным шаблоном

Рис. 35 – Шаблон «змея» с разным количеством точек

126

Полученные корреляционные коэффициенты ( ) представим на графике, который похож на скейлограмму (Рис.

36).

а

б

занного на Рис. 3.22

2.6.6. Фрактальный анализ

Термин фрактал ввел и популяризировал Бенуа Мандельброт. Чаще всего фракталами называют геометрические объекты, которые имеют сильно изрезанную форму и обладают свойством самоподобия.

Строго и общепринятого определения фрактала в данный момент не существует, хотя Бенуа Мальдеброт использовал несколько пробных определений. Одно из них, введенное в

[Mandelbrot, 1982], звучит так:

127

Фракталом называется множество, размерность Хаусдор- фа-Безиковича которого строго больше его топологической

размерности.

Строгое определение размерности Хаусдорфа-Безиковича

или фрактальной размерности будет введено позже. Суть такого определения сводится к тому, чтобы выделить класс сильно изрезанных объектов, для описания которых недостаточно топологической размерности. Например, существуют кривые, топологическая размерность которых всегда равна 1, но они изогнуты таким сложным образом, что заполнят плоскость или пространство. Так кривые Пеано, проходят через любую точку единичного квадрата. Другой пример – траектория броуновской частицы, которая не является гладкой ни в одной точке.

Первое определение, хотя и является строгим, но исключает многие физические фракталы, и поэтому не используется. Было предложено следующее определения фрактала:

Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

Второе определение подчеркивает, что отличительным признаком для фрактала является самоподобие. Приведем строгое определение самоподобного множества, которое используется в математике. Для этого потребуется несколько предварительных определений.

Множество, которое является инвариантным относительно набора отображений подобия, называется самоподобным.

128

Определение самоподобного множества можно понять интуитивно. Действительно, по определению множество самоподобно, если его можно «собрать» из кусочков, которые по-

Очевидно, что простого самоподобия не достаточно для того, чтобы назвать объект фракталом. В самом деле, не будем же мы считать фракталами отрезок прямой или листок бумаги в клеточку. Мы будем рассматривать фрактальные объекты, которые обладают свойством самоподобия, а также сложной структурой.

Приведем один базовый простейший пример фрактального множества, который будет удобно использовать для демонстрации основных идей в дальнейшем. Это множество Кантора или канторова пыль. Классический процесс построения канторового множества начинается с единичного отрезка

каждого из которых теперь удалим среднюю треть, получим множество . Продолжая повторять* + эту процедуру, получим последовательность множеств . Множество Кантора –

это пересечение

Кантора равна 0, точно также как и для точки, или любого счетного множества. Но очевидно, что структура множества Кантора намного более сложная, и здесь уже возникает идея, что для описания такого множества нужна специальная мера, которой и станет фрактальная размерность множества.

129

Фрактальная размерность

Вернемся к определению размерности Хаусдорфа-

Безиковича. Для этого нам понадобится понятие покрытия множества.

Пусть – подмножество некоторого замкнутого множества

множества . По определению s-размерная мера Хаусдорфа

той оговоркой, что часто он равен нулю или бесконечности. Размерность Хаусдорфа-Безиковича множества опреде-

Выше была описана процедура построения, и согласно с ней на n-м шаге имеется отрезков длины каждый и далее

множество только уменьшается. Поэтому в качестве диаметра