13. Модели случайных процессов. Постоянный процесс. Винеровский процесс. Процессы авторегрессии различных порядков.

Процесс – действие, которое развивается по времени. Функция времени. (процесс изменение уровня сигнала на входе приемника).

Процессы: неслучайные (детерминированные) и случайные.

• Детерминированные процессы определены заранее.

• Случайный процесс (случайна функция времени). Значение в будущем нельзя предсказать.

Основной задачей построение модели – предсказание случайного процесса в будущем. Желательно, чтобы она была известна.

В технических системах параметры самой системы меняется ос временем. Обычно это случайно.\Чтобы предсказать будущее, нужно изучить прошлое.

Модель случ. процесса – функциональная зависимость, показывающая, как текущее значение случ. процесса зависит от его прошлого значения, а также от случ. воздействий.

Xn = X(nT)

Гипотеза Лапласова детерминизма (предопределенность) основана на том, что будущее можно предсказать, если иметь абсолютную полную информацию о движении всех частиц во Вселенной. Недостаточная информация по прошлом и настоящем. Точно предсказать ничего нельзя.

Виды моделей случ. процессов:

1. Винеровский процесс: X(n) = X(n-1) + кси

Sign образует последовательность независимых случ. величин.

Значение параметра сигмы си в квадрате должно быть известно

В технике связи есть фазовое дрожание сигнала. Xn – будущее, Xn-1 – прошлое Если предположить, то модель винеросвкого процесса адекватна, то можно предсказать.

Пусть Xn с шляпкой – известное значение случ процесса в n момент времени.

Прогнозное значение

2. Модель авторегрессии 1-го порядка: Xn =R*Xn-1 + ксигма си

Если Xn равна 0, то процесс становится не случайным. Если параметр дисперсии маленький, то случ. добавки тоже маленькие. Недостаток модели авторегрессии 1-го порядка, будущее значение процесса зависит только от одного прошлого значения

3. Модели авторегрессии 2-го порядка

Xn = R1 * Xn-1 + R2* Xn-2

Если R2 = 0 – получаем авторегрессию 1-го порядка

4. Модели авторегрессии порядка P

Модели авторегрессии порядка P имеет P+1 параметр, и все эти значения параметров должны нам быть известны.

Идентификация модели (обучение модели) – выбор параметров модели. При выборе моделей высокого порядка P, точность модели увеличивается, но сложность возрастает.

При построении модели случ. процессов нужно искать компромисс между сложностью и точностью. Нужно учитывать сложность самой модели, но и сложность измерения параметров модели.

5. Модели авторегрессии-скользящего среднего

Модель более точная, но более сложная

Фильтрация в технических системах

y(t) = s(t) + этта(t),

этта(t) – шум, случ. процесс

s(t) – сигнал

Нам доступна обработка y(t) – наблюдаемый сигнал.

Задача фильтрации – обработка сигналов, чтоб лучшим способом выделить полезный сигнал.

Погрешность измерения носит случ. характер.

^s(t) = F{y(t)} – оценка.

Оценка сигнала ^s(t) отличается != истинному значению сигнала s(t). Оценка обладает определенными свойствами. Желательным свойством оценки – максимальная возможная точность.

e(t) = s(t) - ^s(t) -> погрешность, тоже случ. процесс

Дисперсия минимальна.

Для решения задачи фильтрации/оценивания, нужно, чтобы статист. Свойства сигнала и шума отличались. Обработка сигналов в современных ИС всегда производится в дискретном времени. Свойства сигнала могут быть задан с помощью его модели.

Модель шума

Критерий оценивания (фильтрации): min E{|Sn - ^Sn|^2}

Подходы:

1. y, y2, y3… ^Sn = F (y1, y2, y3) – не рекуррентная фильтрация. Недостаток – высокая сложность. При получение нового сигнала выбрасывается, и формируется новая оценка.

y,y2,yn-1 ^Sn-1-> Старая оценка не выбрасывается.

Каждое следующее значение равно предыдущему.

Если удаётся предсказать значение какого-либо параметра системы связи, то тем самым можно оптимизировать её поведение или загрузку.

Предсказание будущих процессов случайного процесса можно сделать на основе его прошлых значений.

Для осуществления предсказаний случайного процесса, на основе его прошлых значений необходимо знать как будущие значения процесса зависят от прошлых значений. Поэтому требуется модель случайного процесса.

1. Винеровский процесс

– шум возбуждения;

Винеровскому процессу подчиняется координата частицы, движущейся случайным образом в капле воды (Броуновское движение), фаза сигнала, который проходит через радиоканал или оптический кабель.

2. Модель авторегрессии 1-го порядка

– параметры модели

Предсказание:

Текущее значение процесса зависит от предыдущего значения.

1. Модель авторегрессии 1-го порядка: 

Если Xn равна 0, то процесс становится не случайным.

Недостаток модели авторегрессии 1-го порядка заключается в том, что будущее значение процесса зависит только от одного прошлого значения

3. Модель авторегрессии 2-го порядка

– параметры модели

Текущее значение процесса зависит от двух предыдущих значений процесса.

4. Модель авторегрессии порядка P

– параметры модели

Значение процесса в -ый момент времени зависит от предыдущих значений процесса.

Для того, чтобы использовать эти модели необходимо знать их параметры. Значения параметров модели случайного процесса можно получить на основе анализа прошлых значений случайного процесса.

Процесс измерения параметров модели называется Идентификацией модели (Обучение модели)