Фильтр Калмана и его свойства. Принцип предсказания и коррекции.
Фильтр Калмана – это фильтр, использующийся для рекуррентной фильтрации, основанной на математической модели сигнала и шума.
Решение задачи
Фильтр Калмана – линейный алгоритм фильтрации (модель сигнала является линейной)
Формулы
– дисперсия
ошибки фильтрации на
шаге
– дисперсия
ошибки предсказания с
шага на
шаг
– коэффициент
усиления фильтра Калмана
– оценка
полезного сигнала на предыдущем шаге
– экстраполированная
оценка с прошлого на текущий шаг
– оценка
полезного сигнала на текущем шаге
– дисперсия
оценки полезного сигнала на текущем
шаге
– параметр модели авторегрессии первого порядка
– дисперсия шумовозбуждения
– параметр
модели наблюдения
– априорная
оценка и дисперсия
Мы полагаем что модель процесса идентифицированы (обучены).
Для того, чтобы рекуррентный процесс начался, необходимы начальные условия.
Коэфф. усиления фильтра Калмана не зависит от принимаемого сигнала, может быть вычислен заранее.
Этапы:
Прогноз – используется оценка с прошлого шага и на основе прошлого шага делается прогноз. На n шаге после поступления принимаемого сигнала yn прогноз корректируется. Если Kn мал, то фильтр больше доверяет прошлой оценке, чем вновь поступившей. И наоборот.
Если шум велик, то коэфф. усиление сделает маленьким. Фильтр Калмана при заданных параметрах модели является оптимальным среди всех линейных фильтров. Если модель линейная, то фильтр просто оптимальный
На рис.19 представлена структурная схема фильтра Калмана
Рис.19 – Структурная схема фильтра Калмана
Алгоритм фильтрации Калмана состоит из 4-х уравнений, из них 3-е уравнение называется фильтрацией Калмана, оно должно реализовываться в реальном времени.
Последовательность , значений коэффициента фильтра Калмана может быть вычислена заранее и записана в памяти. В реальном времени мы извлекаем значение коэффициента из памяти и используем для вычисления оценки.
Физический смысл работы фильтра Калмана состоит в следующем: фильтр реализует идею прогноза и коррекции. На основе имеющейся модели полезного сигнала формируется прогноз значений процесса на следующий шаг. Затем, происходит коррекция – вычисляется разность между прогнозом и вновь поступившим сигналом (невязка). Невязка умножается на весовой коэффициент, который учитывает свойства модели процесса и его поведение. Прогноз корректируется.
Фильтр Калмана очень прост в вычислительном отношении. На одном шаге фильтр требует реализации только 2-х умножений и 2-х сложений.
Фильтр Калмана является оптимальным линейным фильтром, он обеспечивает среди всех линейных фильтров минимальную дисперсию ошибки фильтрации (наилучшую точность)
К недостаткам этого фильтра требует отнести то, что он требует знание всех параметров модели. Также он является линейным.
В настоящее время проблема разработки алгоритмов фильтрации продолжает решаться. В условиях сложных помеховых ситуаций.
При реализации обучения моделей необходимо сопрягать алгоритмы обучения и алгоритмы фильтрации
Некоторые свойства фильтра Калмана:
Оптимальность. Фильтр Калмана сводит к минимуму среднеквадратическую ошибку при линейной модели, а также гауссовом шуме.
Простая реализация. Алгоритм основан на линейной алгебре и рекурсивной обработке данных, что делает его вычислительно эффективным.
Адаптивность. Фильтр может работать в режиме реального времени, обновляя свои меньшие оценки по мере поступления новых данных.
К недостаткам фильтра Калмана следует отнести то, что он является линейным и требует знание всех параметров модели.
