14. Идентификация модели авторегрессии на примере процесса авторегрессии 1-го порядка

Идентификация (обучение) модели – процедура изменение ее параметров на основе множества значений случайного процесса в прошлом.

Модель случайного процесса - функциональная зависимость, показывающая как текущие значения процесса зависят от прошлых значений процесса и от каких случайных процессов. Самая простая модель - Винеровский процесс (но он описывает сильно статичные движения). Для более плавного движения нужно использовать авторегрессию 1-го порядка.

Где, – это значение случайной величины в момент времени n.

- Это значение случайной величины в предыдущий момент времени (n-1).

- Это коэффициент авторегрессии или параметр модели.

ξ_n - Это случайная ошибка (или шум) в момент времени n.

Как видно из формулы, тут тоже самое, что и в винеровском процессе за исключением того, что добавился коэффициент R. Возьмём R не равное 1, а 1,2, ведём подсчёт величин и посмотрим, как сильно будет отличаться этот график от предыдущего.

Рис. 80 – Расчёт и график процесса авторегрессии 1 порядка

В данном случае реализация изменилась не сильно, но в общем случае изменения могут быть и значительными. При таком значении R процесс также будет расходящимся, т.е., его дисперсия будет стремиться к бесконечности.

Поставим теперь R = -1,2, ведём подсчёт величин и посмотрим, как сильно будет отличаться этот график от предыдущего.

Рис. 81 – Расчёт величин процесса авторегрессии 1 порядка при изменённом коэффициенте R

Рис. 82 – График процесса авторегрессии 1 порядка при изменённом коэффициенте R

Мы видим, что при R=-1,2 график стал носить колебательный характер, т.е., наблюдаются нерегулярные колебания. Процесс расходящийся и его дисперсия стремится к бесконечности.

Путём подбора параметра R и параметра сигма кси в квадрате можно добиться максимально возможной адекватности модели, но всё равно эта адекватность может оказаться недостаточной. Поэтому, требуется повысить порядок модели.

Степень случайности/неопределенности модели авторегрессии 1-го порядка определяется это дисперсия случайной ошибки (или шума) ξ.

Если маленькая величина, то приращение??? маленькое и процесс ближе к детерминированному (неслучайному).

Если = 0, то процесс строго детерминированному (неслучайному).

Если R = 1, то модель авторегрессии 1-го порядка переход в модель винеровский процесс.

Допустим, у нас имеется некоторый объём данных, полученных путём наблюдения за процессом:

Умножим уравнение слева и справа на

Возведём обе стороны в квадрат

Чем больше величина , тем ближе эти оценки к истинным значениям параметров. Уравнения Юла-Оккера.

Задача предсказания – фундаментальная задача в обработке данных.

15. Общая постановка задачи фильтрации в информационных системах. Нерекуррентная и рекуррентная фильтрация.

Фильтрация — это обработка сигналов для выделения полезной информации из наблюдения за сигналом.

На рис.15 представлены основные понятия

Рис.15 – Основные понятия

Условия эффективной фильтрации:

1. Сигнал и шум должны соответствовать определенным особенностям природы

2. Необходимо наличие априорной информации о свойствах сигнала и шума

На рис.17 представлены два подхода к фильтру

Рис.17 – Подходы к фильтру

Постановка задачи фильтрации

• – полезный сигнал

• – шум

• – принимаемый сигнал

В целом, задача фильтрации заключается в том, чтобы путём обработки принимаемого сигнала (смесь полезного сигнала и шума) выделить полезный сигнал

– в такой постановке задача фильтрации решения не имеет

Для успешного решения задачи фильтрации необходимо задать отличительные признаки сигнала от шума.

Далее будем рассматривать модель наблюдаемого сигнала в дискретном времени:

Если шум предполагается белым, то по времени он не коррелирован. Изменение сигнала во времени должны подчиняться какому-то закону, например:

Охарактеризовать статистические свойства сигнала можно с помощью его модели. Например, это может быть модель авторегрессии 1-го порядка:

Известные параметры: .

В данной постановке задача фильтрации все равно не имеет решения. Для получения решения задачи фильтрации необходимо задать требования к точности оценки.

– ошибка фильтрации

Сам сигнал, его оценка являются случайными процессами, поэтому ошибка фильтрации тоже будет случайным процессом. Поэтому обычно используют такую величину:

Критерием качества фильтрации выберем средний квадрат ошибки фильтрации. Среди всех возможных оценок нужно выбрать такую оценку, которая даёт минимальный средний квадрат ошибки фильтрации.

Решение задачи фильтрации может быть записано в следующем виде:

- нерекуррентная фильтрация

Крупным недостатком нерекуррентной фильтрации является то, что при поступлении нового отсчёта наблюдаемого сигнала, оценка выбрасывается и заново рассчитывается , что требует большого объёма вычислений.

– рекуррентная фильтрация

При такой фильтрации на каждом шаге предыдущая оценка полезного сигнала не выбрасывается, а модифицируется (пересчитывается) с учётом вновь поступившего нового отсчёта наблюдаемого сигнала.

Вычислительная сложность алгоритмов нерекуррентной фильтрации гораздо выше, чем сложность алгоритмов рекуррентных фильтраций. В современной технике используется рекуррентная фильтрация.