ВТА Вопросы 2024 Гришин С.А

Вопросы по курсу ВТА-24, лектор Гришин С.А.

1. Измеримость области на плоскости: нижняя и верхняя меры области. Необходимые и достаточные условия измеримости.

2. Понятие двойного интеграла и его свойства: линейность, оценка интеграла, теорема о среднем для двойного интеграла, интегрирование неравенств, аддитивность интеграла по множеству.

3. Необходимое условие существования двойного интеграла.

4. Достаточные условия существования двойного интеграла.

5. Формула линейной замены переменных в двойном интеграле (с доказательством). Формула нелинейной замены переменных в двойном интеграле (без доказательства). Полярная и обобщенная полярная замены переменных.

6. Вычисление двойного интеграла по прямоугольнику, сведение к повторным интегралам. Вычисление двойного интеграла по стандартным областям (доказательство формулы)

7. Геометрические приложения для двойного интеграла: формулы для вычисления площади и объема стандартной области.

8. Механические приложения двойного интеграла: масса неоднородной пластины, статические моменты неоднородной пластины относительно координатных осей, центр тяжести неоднородной пластины, моменты инерции относительно координатных осей.

9. Измеримость областей в пространстве, нижняя и верхняя меры области. Понятие тройного интеграла функции трех переменных по измеримой области. Необходимое условие интегрируемости функции по области.

10. Достаточные условия интегрируемости функции (с доказательством).

11. Свойства тройного интеграла: линейность, оценка интеграла, теорема о среднем для двойного интеграла, интегрирование неравенств, аддитивность интеграла по множеству.

12. Формула замены переменной в тройном интеграле (без доказательства). Сферическая и цилиндрические замены переменных.

13. Формулы для вычисления тройного интеграла по прямоугольному параллелепипеду (с доказательством)

14. Формула для вычисления тройного интеграла по цилиндрической области (с доказательством)

15. Формула для вычисления тройного интеграла по сечениям (с доказательством)

16. Приложения тройного интеграла: масса неоднородного тела, статические моменты относительно координатных осей, центр масс

17. Криволинейный интеграл первого рода. Необходимое условие его существования. Достаточные условия интегрируемости функции по кривой. Свойства криволинейного интеграла

18.Способ вычисления криволинейного интеграла первого рода (доказательство формулы)

19. Криволинейный интеграл второго рода по осям координат. Необходимое условие его существования. Достаточные условия существования интеграла. Ориентированная кривая. Способ вычисления (доказательство формулы). Смена знака интеграла при смене ориентации кривой.

20. Криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой. Независимость интеграла от выбора начала. Вычисление циркуляции в потенциальном поле.

21. Необходимое и достаточное условие потенциальности поля. Интегральное представление потенциала. Независимость работы поля по перемещению точки от выбора пути.

22. Вычисление площади области на плоскости с помощью криволинейного интеграла второго рода (доказательство формулы)

23. Связь между криволинейными интегралами первого и второго родов (доказательство формулы)

24. Поверхностный интеграл первого рода и его свойства. Необходимые условия его существования.

25. Формула вычисления поверхностного интеграла первого рода. Достаточные условия существования поверхностного интеграла первого рода.

26. Поверхностные интегралы второго рода от функции по ориентированной поверхности. Достаточные условия существования поверхностного интеграла второго рода и формула его вычисления. Связь между поверхностными интегралами 1 и 2 родов.

27. Вычисление объемов тел с помощью поверхностных интегралов.

28. Формула Грина (с доказательством)

29. Формула Остроградского (с доказательством)

30. Формула Стокса (с доказательством)

31. Понятие числового ряда и его сходимости. Необходимые условия сходимости. Критерий Коши для сходимости ряда.

32. Ряды с положительными членами. Необходимое и достаточное условие их сходимости.

33. Признак сравнения 1 (в форме неравенства) для рядов с положительными членами.

34. Признак сравнения 2 (в форме отношения) для рядов с положительными членами.

35. Интегральный признак Коши для рядов с положительными членами. Сходимость обобщенно гармонического ряда.

36. Признак Даламбера для рядов с положительными членами.

37. Радикальный признак Коши для рядов с положительными членами.

38. Признак сравнения 3 (в форме неравенства отношений) рядов с положительными членами.

39. Признак Раабе для рядов с положительными членами (с доказательством). Признак Гаусса (без доказательства).

40. Понятия абсолютной и условной сходимости для знаконеопределенных рядов. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Свойства условно сходящихся рядов.

41. Знакочередующиеся ряды. Оценка остатка ряда знакочередующихся рядов. Признак Лейбница их сходимости.

42. Признак Абеля сходимости числовых рядов.

43. Признак Дирихле сходимости числовых рядов.

44. Функциональные последовательности и ряды. Понятие равномерной сходимости на множестве. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов. Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости функциональной последовательности.

45. Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда. Достаточное условие равномерной сходимости функционального ряда (существование мажорирующего ряда).

46.Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Доказательство теоремы о предельном переходе.

47.Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Доказательство теоремы о непрерывности предельной функции и суммы ряда.

48.Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Доказательство теоремы об интегрировании функциональных последовательностей и рядов.

49.Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Доказательство теоремы о дифференцировании функциональных последовательностей и рядов.

50. Степенные ряды. Теорема Абеля о структуре области сходимости степенного ряда.

51. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда.

52. Теорема о сходимости степенного ряда на концах интервала сходимости.

53. Доказательство формул для нахождения радиуса сходимости степенного ряда.

54. Ряд Тейлора функции. Необходимые и достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Достаточные условия разложимости.

55. Таблица разложимости элементарных функций в ряд Маклорена.

56. Тригонометрические ряды Фурье - периодических функций. Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье.