22. Распределение Пуассона.

Распределе́ние Пуассо́на — распределение дискретного типа случайной величины, представляющей собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

23. Геометрическое распределение.

Рассмотрим биномиальный эксперимент с обычными условиями. Пусть вместо вычисления числа успехов в независимых испытаниях случайная величина определяет число испытаний до первого успеха. Такая случайная величина распределена по закону геометрического распределения. Вероятности геометрического распределения вычисляются по формуле

P(m) = pq^m–1, (4.I8)

где т = 1, 2, 3, ...; p и q – биномиальные параметры. Математическое ожидание геометрического распределения

M(m)= 1/p, (4.19)

а дисперсия σ² = D(m) = q/p² . (4.20)

Например, число деталей, которые мы должны отобрать до того, как найдем первую дефектную деталь, есть случайная величина, распределенная по геометрическому закону. В чем здесь смысл математического ожидания? Если доля дефектных деталей равна 0, 1, то вполне логично, что в среднем мы будем иметь выборки, состоящие из 10 деталей до тех пор, пока не встретим дефектную деталь.

Пример 4.16. Исследования в некотором регионе показали, что пепси-кола занимает 33,2 % рынка безалкогольных напитков, а кока-кола 40,9 %. Исследователи рынка собираются провести новое исследование, чтобы проверить вкусы и предпочтения потребителей пепси-колы. Потенциальные участники отбираются случайным образом среди потребителей безалкогольных напитков. Определим вероятность того, что случайно отобранный потребитель пьет пепси-колу. Рассчитаем вероятность того, что среди (двух, трех, четырех) отобранных потребителей безалкогольных напитков первым будет найден потребитель пепси-колы.

Решение. Пусть «успех» в единичном испытании с вероятностью 0,332 есть событие «первый случайно отобранный потребитель предпочитает пепси-колу». Используя геометрическое распределение при т=1, найдем из формулы (4.18): Р(1) = 0,332∙0,688⁰ = 0,332. Точно так же первый выбранный человек не будет, а второй будет потребителем пепси-колы с вероятностью P(2) = 0,332∙0,688¹ = 0,2218. Вероятность того, что двое потребителей, не употребляющих пепси-колу, будут проинтервьюированы до того, как первый потребитель пепси-колы будет найден, равна P(3) = 0,332∙0,688² = 0,1481. И окончательно P(4) = 0,332∙0.688³ = 0,099.

24. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Вероятностный смысл.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М(Х) = х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_пр_п . (7.1)

Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то   , если полученный ряд сходится абсолютно.

Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольше-го.

Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непрерывных случайных величин.

Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина X приняла m₁ раз значение x_l, m₁ раз значение х₂, ..., m_к раз значение х_к, причем m₁+m2+…+mk=n. Тогда сумма всех значений, принятых X,равна

х₁m₁+x₂m₂+...+х_km_к.

Найдем среднее арифметическое   всех значений, принятых случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний:

= (х₁m₁+x₂m₂+ ...+х_кm_к)/n,

или

= x₁(m₁/n) + х₂(m₂/n)+... +х_к(m_к/n). (*)

Заметив, что отношение m1/n — относительная частота W₁ значения x_l, m2/n — относительная частота W₂ значения х₂ и т.д., запишем соотношение (*) так:

= x₁W_l + x₂W₂ + ... + x_kW_k. (**)

Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероят- ности появления события:

W₁  p_l, W₂ p₂,… , W_k p_k.

Заменив в соотношении (**) относительные частоты соответствующими вероятностями, получим

x₁p_l + x₂p₂ + … + x_kp_k

Правая часть этого приближенного равенства есть М(Х). Итак,

M(X).

Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.