19. Дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретные случайные величины.

Для задания дискретной случайной величины нужно знать ее возможные значения и вероятности, с которыми принимаются эти значения. Соответствие между ними называется законом распределения случайной величины. Он может иметь вид таблицы, формулы или графика.

Таблица, в которой перечислены возможные значения дискретной случайной величины и соответствующие им вероятности, называется рядом распределения:

xi	x1	x2	…	xn	…
pi	p1	p2	…	pn	…

Заметим, что событие, заключающееся в том, что случайная величина примет одно из своих возможных значений, является достоверным, поэтому 

Графически закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде многоугольника распределения – ломаной, соединяющей точки плоскости с координатами (x_i, p_i).

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅

Случайная величина называется X непрерывной, если она может принимать любое значение из некоторого интервала (a,b).

Предположим, что на плоскости в начале координат расположено некоторое количество радия. При распаде каждого атома радия из него вылетает α-частица. Направление ее будем характеризовать углом ψ (рис. 8.1).

Так как и теоретически, и практически возможны любые направления вылета, то эта случайная величина может принимать любое значение от 0 до 2π.

20. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины – это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения, но в некоторых контекстах он звучит двусмысленно, и поэтому я буду использовать слово закон.

И сразу очень важный момент: поскольку случайная величина   обязательно примет одно из значений  , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Справка:  – это значок суммирования, а   – переменная-«счётчик», которая «пробегает» все значения от 1 до  .

Так, например, закон распределения выпавших на кубике очков имеет следующий вид: …как говорится, без комментариев. Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Задача 82 Пусть некая игра имеет следующий закон распределения выигрыша: (в 1-й строке размер выигрыша в условных единицах, а во 2-й – его вероятность)

Найти  .

Решение: так как случайная величина   может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:  – таким образом, вероятность выигрыша   условных единиц составляет 0,4.

Контроль:  , в чём и требовалось убедиться.

Ответ: 

21. Биномиальное распределение.

Биноминальное распределение представляет собой распределение вероятностей возможных чисел появления события А при n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью P(A) = p = const. Кроме события A может произойти также противоположное событие   , вероятность которого P( ) = 1-p = q.

Вероятности любого числа событий соответствуют членам разложения бинома Ньютона в степени, равной числу испытаний:

где   - вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит n раз;

 - вероятность того, что при n испытаниях событие A не наступит ни разу;

 - вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит m раз, а событие наступит n-m раз;

 - число сочетаний (комбинаций) появления события A и .

Таким образом, вероятность осуществления события A m раз при n независимых испытаниях с одинаковой вероятностью p можно рассчитать по формуле общего члена разложения бинома Ньютона:

 .

Эта формула называется формулой Бернулли.