2. Классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов:

- классическое определение вероятности.

Свойства вероятности.

Из определения 1.8 вытекают следующие свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно,

Р(А) = 1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благопри-ятным, поэтому т = 0 и р(А) = 0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не при всех, следовательно, 0 < m < n, и из (1.1) следует, что 0 < p(A) < 1.

3. Основные формулы комбинаторики.

При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы комбинаторики – науки, изучающей комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества. Определим основные такие комбинации.

1. Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Р_п = п!

2.Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

3.Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний

4. Относительная частота.

Относительной частотой события называют отноше­ние числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

Таким образом, относительная частота события А опре­деляется формулой

где т — число появлений события, п — общее число испы­таний.

Сопоставляя определения вероятности и относитель­ной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действитель­ности; определение же относительной частоты предпола­гает, что испытания были произведены фактически. Дру­гими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту—после опыта.

Пример I. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей.

Отно­сительная частота появления нестандартных деталей

Пример 2. По цели произвели 24 выстрела, причем было зареги­стрировано 19 попаданий.

Относительная частота поражения цели:

5. Статистическая вероятность.

Вероятностью случайного события А можно назвать некоторую постоянную, являющуюся числовой характеристикой, мерой объективной возможности этого события, около которой колеблется относительная частота.

6. Геометрические вероятности.

Чтобы преодолеть недостаток классического опре­деления вероятности, состоящий в том, что оно непри­менимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности.

При геометрическом подходе к определению вероятности в качестве про­странства Q элементарных событий рассматривается произвольное множество конечной меры[1] на прямой, плоскости или в пространстве.

Событиями называются измеримые всевозможные подмножества множества Q.

В конкретных задачах испытание интерпретируется как случайный выбор точки в некоторой области Q, а событие А — как попадание выбранной точки в некоторую под­область А области Q. При этом требуется, чтобы все точки области Q имели оди­наковую возможность быть выбранными. Это требование обычно выражается словами «наудачу», «случайным образом» и т. Д.

Геометрическая вероятность – вероятность попа­дания точки в область (отрезок, часть плоскости или пространства).

Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Обозначим меру (длину, площадь, объем) области через m(е). При этом вероятность попадания точки, брошенной наудачу в область g - часть области G, равна отношению мер областей g и G, соответственно равнее m(g) и m(G).

Формула геометрической вероятности в этом случае имеет вид: P=m(g) : m(G)

В случае классического определения вероят­ность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю); справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно).

В случае геометри­ческого определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.